Koşullu olasılık

Koşullu olasılık kavramı, bir olayın gerçekleşme olasılığının hesaplanmasında ek bilginin kullanılmasına olanak tanır. Örneğin bir kişinin iki çocuğu olduğunu düşünürsek, her ikisinin de kız olma olasılığı 1/4 olur. Ancak birinin kız olduğunu önceden bilirsek, bu olasılık 1/3 olarak değişir. Ama herhangi biri değil de birincisi (yaşça büyük olan) kız olduğu biliniyorsa olasılık 1/2 olur. Yani bu iki durumda, her iki çocuğun da kız olma olasılığı, birinin kız olması koşullu olarak hesaplanır .

Tanım

Olasılık kuramında, A olayının, bir diğer B olayına koşullu olasılığı (veya B biliniyorken A'nın olasılığı), P(A | B) olarak tanımlanır;

P ( A ∣ B )   =   P ( A ∩ B ) P ( B ) {\displaystyle P(A\mid B)\ =\ {\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}}

Aynı kavramı ifade etmek için PB(A) hali de kullanılabilir. Bu tanımda P ( A ∩ B ) {\displaystyle P(A\cap B)} veya P(A,B), A ile B olaylarının ortak olasılıklarını, yani her ikisinin de gerçekleşme olasılığını ifade eder.

Bağımsız olaylar

A ve B olayları birbirlerinden bağımsız olduklarında, birinin gerçekleştiğini bilmek doğal olarak diğerinın olasılık hesabına etki etmez. Bu durumda ortak olasılıkları basit bir çarpım halini alır:

P ( A ∩ B )   =   P ( A ) P ( B ) {\displaystyle P(A\cap B)\ =\ P(A)P(B)}

dolayısıyla:

P ( A ∣ B )   =   P ( A ) {\displaystyle P(A\mid B)\ =\ P(A)}

ve

P ( B ∣ A )   =   P ( B ) {\displaystyle P(B\mid A)\ =\ P(B)}

Birbirini dışlayan olaylar

Bu durumda, her iki olayın birlikte gerçekleşme olasılığı sıfırlanır. Yani

Ayrıştırılamadı (bilinmeyen işlev "\cB"): {\displaystyle P(A) \ \ne \ 0 \wedge P(B) \ \ne \ 0 \Rightarrow P(A \cB) \ = \ 0}

Dolayısıyla:

P ( A ∣ B ) = 0 {\displaystyle P(A\mid B)=0}

ve

P ( B ∣ A ) = 0 {\displaystyle P(B\mid A)=0}

Ayrıca bakınız