Minkowski eşitsizliği

Minkowski Eşitsizliği, sonlu sayıda, hepsi sıfır olmayan ${\displaystyle a_{i}}$, ${\displaystyle b_{i}}$, i=1,2,...,n pozitif sayılarında, p>1 için aşağıdaki eşitsizliğe denir: ${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}(a_{i}+b_{i})^{p}\right)^{1/p}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{p}\right)^{1/p}+\left(\sum _{i=1}^{n}b_{i}^{p}\right)^{1/p}}$

Hölder Eşitsizliğinden türetilebilen, uygulamada oldukça yararlı bu eşitsizliği Alman matematikçi Hermann Minkowski (1864-1909) elde etmiştir.

üçgen'de, Minkowski eşitsizliği' L^p uzayı normlu vektör uzayı' belirlemesidir. diyelimki S bir ölçüm uzayı olsun,ve diyelimki 1 ≤ p ≤ ∞ ve diyelimki L^p(S) ögeleri f ve g olsun. ise L^p(S) içindeki f + gdir ve bizim üçgen eşitsizliği'miz var

${\displaystyle \|f+g\|_{p}\leq \|f\|_{p}+\|g\|_{p}}$

için eşitliği ile 1 < p <∞ eğer ve yalnızca eğerf ve g pozitifliği doğrusal bağımlılık, yani burada bazı ${\displaystyle \lambda }$ ≥ 0.için f = ${\displaystyle \lambda }$ g aşağıdaki norm ile verilir:

${\displaystyle \|f\|_{p}=\left(\int |f|^{p}d\mu \right)^{1/p}}$

Eğer p < ∞ veya p = ∞ durumu içinde zorunlu üstünlük ile

${\displaystyle \|f\|_{\infty }=\operatorname {ess\ sup} _{x\in S}|f(x)|.}$

Minkowski eşitsizliği L^p(S) içinde üçgen eşitsizliğidir,aslında bu durumun daha genel durumu var,

${\displaystyle \|f\|_{p}=\sup _{\|g\|_{q}=1}\int |fg|d\mu ,\qquad 1/p+1/q=1}$

bunun sağ-el tarafta üçgen eşitsizliğinin tatmin edici olduğunu görmek kolay

Hölder eşitsizliği gibi,Minkowski eşitsizliği dizisi özelleştirilebilir ve sayarak ölçülen vektörler tarafından kullanılıyor:

${\displaystyle \left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}+y_{k}|^{p}\right)^{1/p}\leq \left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{p}\right)^{1/p}+\left(\sum _{k=1}^{n}|y_{k}|^{p}\right)^{1/p}}$

için tümgerçel (veya karmaşık) x₁, ..., x_n, y₁, ..., y_n sayıları için ve burada n ;S'in kardinalite'sidir. (S'in ögelerinin sayısı).

Kanıt

İlk, kanıtı f+g sonludur p-norm eğer f ve g ikilisi olarak, bunlar ile aşağıda

${\displaystyle |f+g|^{p}\leq 2^{p-1}(|f|^{p}+|g|^{p}).}$

Nitekim, aslında burada ${\displaystyle h(x)=x^{p}}$ konveks üzerinde ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ (${\displaystyle p}$ birden büyük için) ve yine, konveksite tanımı ile,

${\displaystyle \left|{\frac {1}{2}}f+{\frac {1}{2}}g\right|^{p}\leq \left|{\frac {1}{2}}|f|+{\frac {1}{2}}|g|\right|^{p}\leq {\frac {1}{2}}|f|^{p}+{\frac {1}{2}}|g|^{p}.}$

Bunun anlamı

${\displaystyle |f+g|^{p}\leq {\frac {1}{2}}|2f|^{p}+{\frac {1}{2}}|2g|^{p}=2^{p-1}|f|^{p}+2^{p-1}|g|^{p}.}$

Şimdi, yasal olarak konuşabiliriz ${\displaystyle (\|f+g\|_{p})}$. Sıfır ise, Minkowski eşitsizliği tutar.Şimdi varsayalım ki ${\displaystyle (\|f+g\|_{p})}$ sıfır değildir.Hölder's eşitsizliği kullanılıyor.

${\displaystyle \|f+g\|_{p}^{p}=\int |f+g|^{p}\,\mathrm {d} \mu }$

${\displaystyle \leq \int (|f|+|g|)|f+g|^{p-1}\,\mathrm {d} \mu }$

${\displaystyle =\int |f||f+g|^{p-1}\,\mathrm {d} \mu +\int |g||f+g|^{p-1}\,\mathrm {d} \mu }$

${\displaystyle {\stackrel {{\text{H}}{\ddot {\text{o}}}{\text{lder}}}{\leq }}\left(\left(\int |f|^{p}\,\mathrm {d} \mu \right)^{1/p}+\left(\int |g|^{p}\,\mathrm {d} \mu \right)^{1/p}\right)\left(\int |f+g|^{(p-1)\left({\frac {p}{p-1}}\right)}\,\mathrm {d} \mu \right)^{1-{\frac {1}{p}}}}$

${\displaystyle =(\|f\|_{p}+\|g\|_{p}){\frac {\|f+g\|_{p}^{p}}{\|f+g\|_{p}}}.}$

Biz elde Minkowski'nin eşitsizliği ile ${\displaystyle {\frac {\|f+g\|_{p}}{\|f+g\|_{p}^{p}}}.}$ her iki taraf çarparız

Minkowski integral eşitsizliği

Varsayalımki (S₁,μ₁) ve (S₂,μ₂) are iki ölçüm uzayıs ve F : S₁×S₂ → R ölçülebilirdir. ise Minkowski's integral eşitsizliği is Stein 1970, §A.1dir, Hardy, Littlewood & Pólya 1988, Theorem 202:

${\displaystyle \left[\int _{S_{2}}\left|\int _{S_{1}}F(x,y)\,d\mu _{1}(x)\right|^{p}d\mu _{2}(y)\right]^{1/p}\leq \int _{S_{1}}\left(\int _{S_{2}}|F(x,y)|^{p}\,d\mu _{2}(y)\right)^{1/p}d\mu _{1}(x),}$

durumunda belirgin değişiklikler p = ∞. eğer p > 1 ve her iki taraf sonlu, ise eşitlikle örtüşür eğer |F(x,y)| = φ(x)ψ(y) a.e.bazı negatif ölçülebilir fonksiyonlar φ ve ψ için.

Eğer μ₁ iki nokta kümesi sayma ölçüsüS₁ = {1,2}, ise Minkowski eşitsizliği bir özel durum olarak verir: için ƒ_i(y) = F(i,y) yapıştırma için i = 1,2, integral eşitsizliğini verir.

${\displaystyle {\begin{aligned}\|f_{1}+f_{2}\|_{p}&=\left[\int _{S_{2}}\left|\int _{S_{1}}F(x,y)\,d\mu _{1}(x)\right|^{p}d\mu _{2}(y)\right]^{1/p}\leq \int _{S_{1}}\left(\int _{S_{2}}|F(x,y)|^{p}\,d\mu _{2}(y)\right)^{1/p}d\mu _{1}(x)=\|f_{1}\|_{p}+\|f_{2}\|_{p}.\end{aligned}}}$

Ayrıca bakınız

• Mahler eşitsizliği
• Hölder eşitsizliği

Kaynakça

• Hardy, G. H.; Littlewood, J. E.; Pólya, G. (1952). "Inequalities". 2. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-35880-9.  Eksik ya da boş |url= (yardım)
• Minkowski, H. (1953). "Geometrie der Zahlen". ChelseaŞablon:Tutarsız alıntı .
• Stein, Elias (1970). "Singular integrals ve differentiability properties of functions". Princeton University PressŞablon:Tutarsız alıntı .
• Hazewinkel, Michiel, (Ed.) (2001), "Minkowski eşitsizliği", Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104 
• Arthur Lohwater (1982). "Introduction to Inequalities" (PDF, Online e-book). mediafire.com. 14 Ekim 2012 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 27 Ekim 2013.