In matematica, e in particolare in algebra lineare, l'ortogonalizzazione Gram-Schmidt è un algoritmo che permette di ottenere un insieme di vettori ortogonali a partire da un generico insieme di vettori linearmente indipendenti in uno spazio vettoriale dotato di un prodotto scalare definito positivo.[1]
Indice
1Storia
2L'algoritmo
2.1Procedimento
2.2Generalizzazioni
3Scrittura per mezzo del determinante
4Esempio
5Note
6Bibliografia
7Voci correlate
8Collegamenti esterni
Storia
Il procedimento è così chiamato in onore del matematico danese Jørgen Pedersen Gram (1850-1916) e del matematico tedesco Erhard Schmidt (1876-1959); esso però è stato introdotto precedentemente ai loro studi e si trova in lavori di Laplace e Cauchy.
Quando si implementa l'ortogonalizzazione su un computer, al processo di Gram-Schmidt di solito si preferisce la trasformazione di Householder, in quanto questa è numericamente più stabile, cioè gli errori causati dall'arrotondamento sono minori.
L'algoritmo
Sia uno spazio vettoriale reale con un prodotto scalare definito positivo. Siano vettori linearmente indipendenti in . L'algoritmo di Gram-Schmidt restituisce vettori linearmente indipendenti tali che:
e
In altre parole, i vettori restituiti sono ortonormali, ed i primi generano lo stesso sottospazio dei primi vettori iniziali.[1]
Procedimento
La proiezione ortogonale è la funzione che "proietta" il vettore in modo ortogonale su :[2]
Il procedimento di Gram–Schmidt permette di costruire una base ortogonale a partire da una base generica . Per calcolare si proietta ortogonalmente sul sottospazio generato da . Si definisce allora come differenza tra e questa proiezione, in modo che risulta garantito che esso sia ortogonale a tutti i vettori nel sottospazio . Normalizzando poi la base ortogonale (cioè dividendo ogni vettore che la compone per la propria norma ) si ottiene una base ortonormale dello spazio.[3]
Nello specifico:
dove è la base normalizzata.
Una verifica immediata della correttezza del procedimento eseguito, ovvero che si è ottenuto un insieme di vettori mutuamente ortogonali, è il calcolo del prodotto scalare fra e .
Generalizzazioni
Il processo di Gram-Schmidt si applica anche ad una successione infinita di vettori linearmente indipendenti. Il risultato è sempre una successione di vettori ortogonali e con norma unitaria, tale che:
Scrittura per mezzo del determinante
Il risultato del procedimento di Gram-Schmidt può essere espresso in modo non ricorsivo utilizzando il determinante:
dove , e per si indica con il determinante della matrice di Gram:
Esempio
Dati i vettori e nel piano euclideo munito del prodotto scalare standard, applicando il procedimento di Gram-Schmidt si ha:
ottenendo i vettori e che sono ortogonali fra loro, come mostra il loro prodotto scalare:
(EN) Eric W. Weisstein, Ortogonalizzazione di Gram-Schmidt, su MathWorld, Wolfram Research.
(EN) Ortogonalizzazione di Gram-Schmidt, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.
(EN) Harvey Mudd College Math Tutorial on the Gram-Schmidt algorithm (PDF), su math.hmc.edu. URL consultato il 18 febbraio 2015 (archiviato dall'url originale il 2 aprile 2016).
(EN) Earliest known uses of some of the words of mathematics: G, su jeff560.tripod.com.
(EN) Gram-Schmidt orthogonalization applet, su math.ucla.edu.
(EN) NAG Gram–Schmidt orthogonalization of n vectors of order m routine, su nag.co.uk.
(EN) Proof: Raymond Puzio, Keenan Kidwell. "proof of Gram-Schmidt orthogonalization algorithm" (version 8). PlanetMath.org.
(EN) Gram Schmidt process in plane, su bigsigma.com. URL consultato il 18 febbraio 2015 (archiviato dall'url originale il 7 maggio 2009).
(EN) Gram Schmidt process in space, su bigsigma.com. URL consultato il 18 febbraio 2015 (archiviato dall'url originale il 7 maggio 2009).