Sottospazio ortogonale

In algebra lineare, il sottospazio ortogonale realizza il concetto di ortogonalità per sottospazi di uno spazio vettoriale munito di un prodotto scalare. Quando il prodotto scalare è definito positivo, il sottospazio ortogonale è spesso chiamato anche complemento ortogonale.

Definizione

Sia ${\displaystyle V}$ uno spazio vettoriale su un campo ${\displaystyle K}$ munito di un prodotto scalare o di una forma hermitiana ${\displaystyle \phi :V\times V\to K}$. Sia ${\displaystyle W}$ un sottospazio vettoriale di ${\displaystyle V}$. Il sottospazio ortogonale ${\displaystyle W^{\perp }}$ di ${\displaystyle W}$ è l'insieme dei vettori ortogonali a tutti i vettori di ${\displaystyle W}$:^[1]

${\displaystyle W^{\perp }=\{v\in V\ |\ \phi (v,w)=0\ \forall w\in W\}}$

Dove due vettori ${\displaystyle v,w}$ di ${\displaystyle V}$ sono detti ortogonali se e solo se ${\displaystyle \phi (v,w)=0}$.

Si dimostra facilmente che l'insieme ${\displaystyle W^{\perp }}$, munito della somma e del prodotto mutuati da ${\displaystyle V}$, è un sottospazio vettoriale di ${\displaystyle V}$; si dimostra inoltre che, se ${\displaystyle {\mathcal {L}}(W)}$ è il sottospazio generato dai vettori di ${\displaystyle W}$, allora:

${\displaystyle W^{\perp }=\left({\mathcal {L}}(W)\right)^{\perp }}$

Dimensioni e somma diretta

Il sottospazio ortogonale è un sottospazio vettoriale di ${\displaystyle V}$. La sua dimensione non è fissata generalmente, ma vale la disuguaglianza:

${\displaystyle \dim W+\dim W^{\perp }\geq \dim V}$

Se il prodotto scalare o la forma hermitiana è non degenere, vale l'uguaglianza:

${\displaystyle \dim W+\dim W^{\perp }=\dim V}$

Infine, se ${\displaystyle K=\mathbb {R} }$ e ${\displaystyle \phi }$ è un prodotto scalare definito positivo, oppure se ${\displaystyle K=\mathbb {C} }$ e ${\displaystyle \phi }$ è una forma hermitiana definita positiva, lo spazio ${\displaystyle W}$ ed il suo ortogonale sono in somma diretta:^[2]

${\displaystyle W\oplus W^{\perp }=V}$

Questo è il caso ad esempio in ogni spazio euclideo o spazio di Hilbert. Lo stesso risultato vale se ${\displaystyle \phi }$ è definito negativo. Per questo motivo, se ${\displaystyle \phi }$ è definito positivo o negativo il sottospazio ortogonale è chiamato anche complemento ortogonale.

Relazioni con le altre operazioni

Valgono le relazioni seguenti per ogni coppia ${\displaystyle U}$ e ${\displaystyle W}$ di sottospazi di ${\displaystyle V}$:

${\displaystyle U\subset W\Rightarrow W^{\perp }\subset U^{\perp }\qquad (U+W)^{\perp }=U^{\perp }\cap W^{\perp }\qquad (U^{\perp })^{\perp }\supset U}$

Se ${\displaystyle \phi }$ è non degenere, vale:

${\displaystyle (U^{\perp })^{\perp }=U}$

Radicale

Il radicale di ${\displaystyle \phi }$ è definito come il sottospazio formato dai vettori che sono ortogonali a qualsiasi vettore di ${\displaystyle V}$:

${\displaystyle {\rm {Rad}}(\phi )=V^{\perp }}$

Un prodotto scalare (o forma hermitiana) ${\displaystyle \phi }$ è non degenere quando il radicale è il sottospazio banale (consta cioè del solo elemento zero).

Note

Bibliografia

• Kenneth Hoffman, Ray Kunze, Linear Algebra, 2ª ed., Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice - Hall, inc., 1971, ISBN 0-13-536821-9.

Voci correlate

• Forma sesquilineare
• Prodotto scalare
• Somma diretta
• Sottospazio vettoriale
• Spazio di Hilbert
• Spazio euclideo

Collegamenti esterni

• Instructional video describing orthogonal complements (Khan Academy), su khanexercises.appspot.com (archiviato dall'url originale il 5 marzo 2012).

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