Paradosso di Burali-Forti

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Il paradosso di Burali-Forti dimostra che costruire "l'insieme di tutti i numeri ordinali" porta ad una contraddizione e quindi individua un'antinomia in un sistema che permette la sua costruzione.

Il motivo è che l'insieme di tutti i numeri ordinali ${\displaystyle \Omega }$ possiede tutte le proprietà di un numero ordinale e sarebbe quindi considerato a sua volta un numero ordinale. Quindi si può costruire il suo successore ${\displaystyle \Omega +1}$, che è strettamente maggiore di ${\displaystyle \Omega }$. Ma questo numero ordinale deve essere elemento di ${\displaystyle \Omega }$, in quanto ${\displaystyle \Omega }$ contiene tutti i numeri ordinali, quindi si giunge a:

${\displaystyle \Omega <\Omega +1\leq \Omega }$.

La moderna teoria assiomatica degli insiemi aggira questa antinomia non consentendo la costruzione di insiemi con formule di comprensione senza restrizione come "tutti gli insiemi che hanno la proprietà ${\displaystyle P}$", come era possibile nel sistema di assiomi di Gottlob Frege.

Il paradosso prende il nome da Cesare Burali-Forti, che lo formulò nel 1897.

Collegamenti esterni

• Burali-Forti, paradosso di, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) Eric W. Weisstein, Paradosso di Burali-Forti, su MathWorld, Wolfram Research.

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