Teoria dell'area in geometria iperbolica

La teoria dell'area in geometria iperbolica è una teoria nell'ambito della geometria iperbolica.

Definizione

È possibile creare un parallelo tra l'area di un poligono definita nel piano euclideo e l'area di una poligonale definita nel piano iperbolico.

Nella geometria Euclidea è definita una funzione area che soddisfa proprietà tali da ritenerla una corretta misura di una superficie.

Inoltre nel piano euclideo le poligonali godono della proprietà di equiscomponibilità.

In particolare valgono i seguenti teoremi:

Se due regioni triangolari hanno la stessa area allora sono equiscomponibili;

Se due regioni poligonali hanno la stessa area, allora sono equiscomponibili.

Osserviamo che nel piano Euclideo non tutte le regioni piane sono equiscomponibile.

Analogamente anche nello spazio euclideo non tutti i solidi godono della proprietà di equiscomponibilità: infatti prismi di ugual volume sono equiscomponibili, mentre prismi e piramidi di ugual volume non sono equiscomponibili.

In geometria iperbolica è possibile definire una funzione che soddisfi le condizioni della funzione area. Essa è la funzione difetto angolare.

Tale funzione soddisfa gli assiomi 1 - 4 definiti per la funzione area (osserviamo che in geometria iperbolica non esistono rettangoli, pertanto l'assioma 4 non può risultare falso) e la proprietà di equiscomponibilità.

In particolare vale il seguente teorema:

Teorema 1: Se $A$ è una funzione definita dall'insieme ${\mathcal {P}}$ di tutte le regioni poligonali nell'insieme dei numeri reali (quindi $A\colon {\mathcal {P}}\to \mathbb {R}$ ) che gode delle i proprietà A1 ed A3 della funzione area, e della proprietà di equiscomponibilità, allora esiste un numero $h$ tale che per ogni regione poligonale $P$ vale

A(P)=h\cdot d(P),

dove $d(P)$ è il difetto angolare della regione $P$ .

Il teorema assicura che il difetto angolare è l'unica possibile funzione area che, a meno di una costante arbitraria, salvaguarda le proprietà peculiari della misura delle superfici nel piano iperbolico.

Valgono i seguenti teoremi relativi all'equiscomponibilità, analoghi al caso euclideo:

Teorema 2: Se due regioni triangolari hanno lo stesso difetto angolare (e quindi la stessa area) allora sono equiscomponibili;

Teorema 3: Se due regioni poligonali hanno lo stesso difetto angolare (e quindi la stessa area), allora sono equiscomponibili.

Il teorema precedente dimostra che in geometria iperbolica l'area di un triangolo e l'area di un poligono si mantengono al di sotto di un valore costante, in particolare:

A({\text{triangolo}})<h\pi ;

A({\text{poligono}})<nh\pi ,

(dove

n

è il numero di lati del poligono).

Osserviamo che nel piano iperbolico la funzione area è definita a meno di una costante arbitraria $h$ , pertanto è possibile sfruttare l'arbitrarietà di $h$ per scegliere la funzione difetto angolare in modo che si abbia l'identità numerica tra l'area definita nel piano iperbolico e nel piano euclideo.