Diagramme de Penrose-Carter

Un diagramme de Penrose-Carter^[1],[2],[3] est un diagramme bidimensionnel utilisé, en relativité générale, pour faciliter l'étude des propriétés causales d'un espace-temps^[3].

Ils sont une façon de représenter plusieurs métriques spatio-temporelles (solutions de l'équation d'Einstein) en supprimant systématiquement deux dimensions d'espace : la figure résultante est donc plane, représentable facilement dans le plan euclidien (c'est-à-dire une banale feuille de papier).

Histoire

Les diagrammes de Penrose-Carter sont ainsi désignés en l'honneur de Roger Penrose et de Brandon Carter qui les ont introduits indépendamment^[3] dans les années 1960.

D'après Penrose^[4], celui-ci en fit usage, pour la première fois, lors d'une conférence à Varsovie en juillet 1962^[5] mais c'est Carter qui introduisit la notion de « diagrammes conformes stricts » en 1966^[6],[7].

Présentation

Sur un diagramme de Penrose-Carter^[3] :

• toute ligne horizontale est du genre espace,
• toute ligne verticale est du genre temps,
• la lumière se déplace sur des droites inclinées à 45°.

Un diagramme de Penrose-Carter représente divers infinis dits infinis conformes^[8]. Ils y sont notés par la lettre i — initiale de l'anglais infinity (« infini ») — suivie, en exposant, de 0, + ou –, correspondant respectivement au zéro, au signe plus et au signe moins^[3],[8]. Les infinis conformes représentés par un point sont notés par un i ; les autres, par un i en police scripte, dit scri^[3]. Les exposants + et – dénotent respectivement le futur et le passé^[3].

• le point ${\displaystyle i^{0}}$ est l'infini du genre espace^[8], ou infini spatial^[3],
• le point ${\displaystyle i^{+}}$ est l'infini futur du genre temps^[8], ou infini temporel futur^[3],
• le point ${\displaystyle i^{-}}$ est l'infini passé du genre temps^[8], ou infini temporel passé^[3],
• ${\displaystyle {\mathcal {I}}^{+}}$ est l'infini futur du genre lumière^[3],[8],
• ${\displaystyle {\mathcal {I}}^{-}}$ est l'infini passé du genre lumière^[3],[8].

Cas de l'espace de Schwarzschild

La figure à gauche montre la représentation d'un espace de Schwarzschild correspondant à un trou noir statique (pas de rotation, ni de charge). La coordonnée verticale nommée « u » est temporelle, alors que la coordonnée horizontale « v » est spatiale. Le diagramme de Penrose est conforme, c'est-à-dire que les géodésiques de genre nul (lignes de lumière) correspondent aux demi-première et deuxième bissectrices « hautes ».

Dans ce système de coordonnées, dérivé de celui de Kruskal, nous avons :

${\displaystyle ds^{2}={\frac {32M^{3}}{r}}{\frac {e^{-{\frac {r}{2M}}}(-du^{2}+dv^{2})}{4\cos ^{2}{\frac {1}{2}}(u+v)\cos ^{2}{\frac {1}{2}}(u-v)}}+r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\phi ^{2})}$

Le diagramme fait donc abstraction des deux coordonnées sphériques ${\displaystyle \theta }$ et ${\displaystyle \phi }$. Les cônes de lumières délimités par les géodésiques nulles (ds² = 0) correspondent à du² = dv², donc {u = v} ou {u = -v}, c'est-à-dire les premières et deuxièmes bissectrices.

En partant de la gauche, deux droites (première et seconde bissectrices) divergent : la droite du bas, nommée I-, représente « l'infini du passé », là d'où proviennent tous les mobiles qui viennent de l'infiniment lointain ; la droite du haut, I+, correspond à « l'infini de l'avenir », et représente le lieu vers où se dirigent tous les mobiles qui s'éloignent à jamais du trou noir. Les deux droites horizontales et parallèles représentent la singularité (dans le passé et dans l'avenir), située en r = 0. Le diagramme est symétrique par rapport à la verticale. En pointillés, on a représenté l'horizon du trou noir, situé (en unités convenables) à r = 2M.

On peut donc distinguer quatre régions, suivant leur couleur :

1. Les zones de fond blanc correspondent à notre espace-temps, celles de fond marron à un espace-temps « miroir » ;
2. Les zones de fond clair sont dans l'espace « classique », les zones grisées à l'intérieur des horizons respectifs des singularités.

La singularité du passé (en bas de la figure) et l'espace « symétrique » situé à droite sont généralement considérés comme des artefacts mathématiques sans réalité physique. Ils sont de toute façon impossibles à atteindre. La singularité du passé se comporte comme un « trou blanc », à savoir une zone de répulsion gravitationnelle infinie : aucun mobile extérieur ne peut l'approcher en deçà de son horizon, et tout ce qui se trouve crée à l'intérieur est expulsé — soit dans notre univers « normal » (à gauche), soit dans l'univers « miroir » (à droite).

Il est loisible d'identifier les « losanges » droite et gauche, ce qui revient à interpréter l'univers « miroir » comme une réplique mathématique de notre univers « normal ». Si l'on identifie en outre les singularités du haut et du bas, on arrive à un modèle physique où un trou noir éternel avale de la matière, rejetée dans un ailleurs spatio-temporel sous la forme de trou blanc.

Étude cinématique dans le diagramme de Penrose

En vert, on a représenté la trajectoire d'un mobile qui reste à distance du trou noir. Il émerge de I-, reste constamment dans son cône de lumière matérialisé par le « V » en pointillés (l'ensemble de ses vitesses permises, c'est-à-dire telles que |v| < c), puis atteint l'infini de l'avenir.

En rouge, on a représenté la trajectoire d'un mobile qui arrive de l'infini, se rapproche du trou noir puis dépasse l'horizon. On voit aisément qu'une fois au-delà de la droite r = 2M, en raison de la forme des cônes de lumière, quelle que soit la vitesse ultérieure du mobile, il ne peut que finir sur la singularité matérialisée par la droite du haut.

Notes et références

Voir aussi

Bibliographie

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• [Bardou 2012] Yannis Bardoux, Trous noirs dans des théories modifiées de la gravitation (thèse de doctorat en physique théorique, préparée, sous la direction de Christos Charmousis, dans le cadre de l'École doctorale de physique de la région parisienne, en partenariat avec le Laboratoire de physique théorique d'Orsay, et soutenue le 24 septembre 2012 à l'université Paris-XI – Paris-Sud), octobre 2012, 1 vol., VIII-189, 30 cm (OCLC 819163276, Bibcode 2012PhDT........17B, arXiv 1211.0038, SUDOC 164384375, présentation en ligne, lire en ligne).
• [Barrau et Grain 2016] Aurélien Barrau et Julien Grain, Relativité générale : cours et exercices corrigés, Malakoff et Paris, Dunod, coll. « Sciences Sup / Physique », août 2016, 2^e éd. (1^re éd. août 2011), 1 vol., VIII-231, 24 cm (ISBN 978-2-10-074737-5, EAN 9782100747375, OCLC 958388884, BNF 45101424, SUDOC 195038134, présentation en ligne, lire en ligne), chap. 8 (« Trous noirs »), sect. 8.4 (« Un peu plus loin »), § 8.4.3 (« Structure causale »), p. 183-184.
• [Carter 1966a] (en) Brandon Carter, « Complete analytic extension of the symmetry axis of Kerr's solution of Einstein's equations », Physical Review, vol. 141, n^o 4,‎ janvier 1966, p. 1242-1247 (DOI 10.1103/PhysRev.141.1242, résumé).
• [Carter 1966b] (en) Brandon Carter, « The complete analytic extension of the Reissner-Nordström metric in the special case e² = m² », Physics Letters, vol. 21, n^o 4,‎ juin 1966, p. 423-424 (DOI 10.1016/0031-9163(66)90515-4, Bibcode 1966PhL....21..423C, résumé).
• [Leygnac 2004] Cédric Leygnac, Trous noirs non asymptotiquement plats (thèse de doctorat en physique théorique, préparée, sous la direction de Gérard Clément, dans le cadre du Laboratoire d'Annecy-le-Vieux de physique théorique, et soutenue à l'université Lyon-I – Claude-Bernard le 14 juin 2004), septembre 2004, 1 vol., 129, 30 cm (OCLC 493204651, Bibcode 2004gr.qc.....9040L, arXiv gr-qc/0409040, SUDOC 082117144, présentation en ligne, lire en ligne).
• [Luminet et Lachièze-Rey 2016] Jean-Pierre Luminet et Marc Lachièze-Rey, De l'infini : horizons cosmiques, multivers et vide quantique, Malakoff et Paris, Dunod, coll. « Quai des sciences », septembre 2016, 2^e éd. (1^re éd. octobre 2005), 1 vol., 235-VIII, 14 × 22 cm (ISBN 978-2-10-073838-0, EAN 9782100738380, OCLC 958876144, BNF 45109797, SUDOC 195229045, présentation en ligne, lire en ligne), chap. 1^er (« L'infini du ciel »), § 17 (« Horizons cosmiques »), p. 60-73.
• [Penrose 1964] (en) Roger Penrose, « The light cone at infinity », dans Leopold Infeld (éd.), Relativistic theories of gravitation : proceedings of a conference held in Warsaw and Jablonna, Poland, July 25-31, 1962, Oxford, Paris et Varsovie, Pergamon Press, Gauthier-Villars et PWN, 1964, 1^re éd., 1 vol., XVIII-379, 24 cm (SUDOC 012563064), p. 369-373.
• [Penrose 2007] Roger Penrose (trad. de l'anglais par de l'anglais par Céline Laroche), À la découverte des lois de l'univers : la prodigieuse histoire des mathématiques et de la physique [« The road to reality : a complete guide to the laws of the universe »], Paris, O. Jacob, coll. « Sciences », août 2007 (réimpr. 2008 et 2010), 1^re éd., 1 vol., XXII-1061, 24 cm (ISBN 978-2-7381-1840-0, EAN 9782738118400, OCLC 209307388, BNF 41131526, SUDOC 118177311, présentation en ligne, lire en ligne).
• [Smerlak 2016] Matteo Smerlak, Les trous noirs, Paris, Presses universitaires de France, coll. « Que sais-je ? » (n^o 4003), mars 2016, 1^re éd., 1 vol., 126, 18 cm (ISBN 978-2-13-063009-8, EAN 9782130630098, OCLC 946571004, BNF 45015423, SUDOC 192516817, présentation en ligne, lire en ligne), chap. 2 (« Qu'est-ce qu'un trou noir ? »), sect. 2 (« Implosion gravitationnelle »), § 3 (« Diagrammes des Penrose-Carter »).
• [Taillet et al. 2013] Richard Taillet, Loïc Villain et Pascal Febvre, Dictionnaire de physique, Bruxelles, De Boeck Supérieur, février 2013 (réimpr. 2015), 3^e éd. (1^re éd. mai 2008), 1 vol., X-899, 24 cm (ISBN 978-2-8041-7554-2, OCLC 842156166, BNF 43541671, SUDOC 167932349, lire en ligne).

Articles connexes

• Diagramme de Minkowski
• Cosmologie cyclique conforme

Liens externes

• (en) Penrose-Carter diagram (diagramme de Penrose-Carter) sur l'Etymological Dictionary of Astronomy and Astrophysics de l'Observatoire de Paris.

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