Métrique de Kasner

Cet article est une ébauche concernant la physique et les mathématiques.

Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant (comment ?) selon les recommandations des projets correspondants.

La métrique de Kasner est une forme particulière de métrique introduite par le physicien Edward Kasner en 1921 pour étudier les modèles d'univers anisotropes.

La métrique est donnée par l'équation suivante :

${\displaystyle g_{ij}={\rm {d}}s^{2}=c^{2}{\rm {d}}t^{2}-K_{1}t^{2p_{1}}{\rm {d}}x^{2}-K_{2}t^{2p_{2}}{\rm {d}}y^{2}-K_{3}t^{2p_{3}}{\rm {d}}z^{2}}$,

les paramètres de la métrique, ${\displaystyle (p_{1},p_{2},p_{3})}$ vérifient les conditions suivantes :

${\displaystyle p_{1}+p_{2}+p_{3}={p_{1}}^{2}+{p_{2}}^{2}+{p_{3}}^{2}=1}$.

D'un point de vue géométrique, la métrique de Kasner correspond à un univers dont les sections spatiales sont homogènes, c'est-à-dire identiques quel que soit le point depuis lequel elles sont observées. Cette propriété indique que cette métrique fait partie de la classe plus générale des métriques d'espace-temps quadri-dimensionnels spatialement homogènes. Cette classe a été intégralement décrite par le mathématicien italien Luigi Bianchi et nommée en son honneur classification de Bianchi. La métrique de Kasner correspond au type I dans cette classification.

Propriétés immédiates

La condition sur la valeur des paramètres implique que l'un d'entre eux est négatif (sauf dans le cas trivial où l'un d'entre eux est égal à 1 et les deux autres à zéro). En effet : ${\displaystyle (p_{1}+p_{2}+p_{3})^{2}={p_{1}}^{2}+{p_{2}}^{2}+{p_{3}}^{2}+2p_{1}p_{2}+2p_{1}p_{3}+2p_{2}p_{3}}$ d'où : ${\displaystyle p_{1}p_{2}+p_{1}p_{3}+p_{2}p_{3}=0}$, condition qui ne peut être réalisée si tous les ${\displaystyle p_{i}}$ sont positifs. On montre que (par exemple) : ${\displaystyle -{\frac {1}{3}}<p_{1}<0}$.

L'élément de volume élémentaire dans cette métrique a pour mesure ${\displaystyle {\sqrt {-g}}=t}$. L'univers décrit par cette métrique est donc en expansion. Cependant, du fait qu'un au moins des ${\displaystyle p_{i}}$ est négatif, cette expansion se transforme en contraction dans l'une des directions.

Voir aussi

• Classification de Bianchi

• Portail des mathématiques