Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz

In matematica, la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, nota anche come disuguaglianza di Schwarz o disuguaglianza di Bunyakovsky, è una disuguaglianza che compare in algebra lineare e si applica in molti altri settori, quali ad esempio l'analisi funzionale e la probabilità.

Proposta inizialmente da Augustin-Louis Cauchy, la formulazione integrale della disuguaglianza è dovuta a Viktor Bunyakovsky (1859), e si può trovare anche nei lavori di Hermann Amandus Schwarz a partire dal 1884.

Negli spazi L^p la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz è un caso particolare della disuguaglianza di Hölder.

La disuguaglianza

Sia ${\displaystyle V}$ uno spazio prehilbertiano, cioè uno spazio vettoriale reale dotato di un prodotto scalare definito positivo, o uno spazio vettoriale complesso dotato di un prodotto hermitiano. La disuguaglianza asserisce che il valore assoluto del prodotto scalare di due elementi è minore o uguale al prodotto delle loro norme. Formalmente:

${\displaystyle |\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle |\leq \left\|\mathbf {x} \right\|\cdot \left\|\mathbf {y} \right\|\qquad \forall \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in V,}$

con l'uguaglianza che sussiste solo se ${\displaystyle \mathbf {x} }$ e ${\displaystyle \mathbf {y} }$ sono multipli (giacciono cioè sulla stessa retta).

In forma integrale:

${\displaystyle \left|\int _{a}^{b}f(x){\overline {g(x)}}\ dx\right|^{2}\leq \int _{a}^{b}|f(x)|^{2}\ dx\cdot \int _{a}^{b}|g(x)|^{2}\ dx,}$

con ${\displaystyle f}$ e ${\displaystyle g}$ funzioni quadrato sommabile in ${\displaystyle \mathbb {C} }$, che formano lo spazio di Hilbert L². Una generalizzazione di questa disuguaglianza è la disuguaglianza di Hölder.

Nello spazio euclideo ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ si ha:

${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}\right)^{2}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{2}\right).}$

In dimensione 3, la disuguaglianza è conseguenza della seguente uguaglianza:

${\displaystyle \langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle \cdot \langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle =|\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle |^{2}+\left\|\mathbf {x} \times \mathbf {y} \right\|^{2}}$

dove l'operazione binaria ${\displaystyle \times \colon \mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}}$ indica il prodotto vettoriale.

Proprietà

La disuguaglianza vale quindi ad esempio nello spazio euclideo ${\displaystyle n}$-dimensionale e negli spazi di Hilbert a dimensione infinita.

Nel piano, la disuguaglianza segue dalla relazione:

${\displaystyle |\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle |=\left\|\mathbf {x} \right\|\cdot \left\|\mathbf {y} \right\|\cdot |\cos \theta |,}$

dove ${\displaystyle \theta ={\widehat {\mathbf {x} \mathbf {y} }}}$ è l'angolo fra i due vettori ${\displaystyle \mathbf {x} }$ e ${\displaystyle \mathbf {y} }$. Si estende quindi questa relazione a un qualsiasi spazio vettoriale con prodotto scalare, usandola per definire l'angolo fra due vettori ${\displaystyle \mathbf {x} }$ e ${\displaystyle \mathbf {y} }$ come il ${\displaystyle \theta \in [0,\pi ]}$ che realizza l'uguaglianza.

Tra le conseguenze importanti della disuguaglianza si trovano:

• il prodotto scalare (o hermitiano) è una funzione continua da ${\displaystyle V\times V}$ in ${\displaystyle \mathbb {R} }$;
• la norma verifica la disuguaglianza triangolare;
• la disuguaglianza di Bessel.

Dimostrazione 1

Siano ${\displaystyle u}$, ${\displaystyle v}$ vettori arbitrari in uno spazio vettoriale ${\displaystyle V}$ su un campo ${\displaystyle F}$ con un prodotto scalare (formando così uno spazio prodotto interno), e sia ${\displaystyle F}$ il campo reale o complesso. Dimostriamo la disuguaglianza

${\displaystyle {\big |}\langle u,v\rangle {\big |}\leq \left\|u\right\|\left\|v\right\|,}$

dove l'identità vale se e solo se ${\displaystyle u}$ e ${\displaystyle v}$ sono multipli fra di loro.

Se ${\displaystyle v=0}$ è banalmente provata l'uguaglianza, ed in questo caso ${\displaystyle u}$ e ${\displaystyle v}$ sono linearmente dipendenti (multipli l'uno dell'altro) a prescindere da ${\displaystyle u}$. Possiamo quindi assumere ${\displaystyle u}$ non nullo. Assumiamo anche ${\displaystyle \langle u,v\rangle \neq 0}$, altrimenti la disuguaglianza è ovviamente verificata, perché né ${\displaystyle \left\|u\right\|}$ né ${\displaystyle \left\|v\right\|}$ possono essere negativi.

Sia ${\displaystyle z}$ il vettore ortogonale a ${\displaystyle v}$ (si veda ortogonalizzazione di Gram-Schmidt) così definito:

${\displaystyle z=u-u_{v}=u-{\frac {\langle u,v\rangle }{\langle v,v\rangle }}v.}$

Quindi

${\displaystyle u={\frac {\langle u,v\rangle }{\langle v,v\rangle }}v+z.}$

Per bilinearità e simmetria del prodotto scalare e per ortogonalità di ${\displaystyle v}$ e ${\displaystyle z}$ si ha che

${\displaystyle \left\|u\right\|^{2}=\langle u,u\rangle =\langle {\frac {\langle u,v\rangle }{\langle v,v\rangle }}v+z,{\frac {\langle u,v\rangle }{\langle v,v\rangle }}v+z\rangle =\left|{\frac {\langle u,v\rangle }{\langle v,v\rangle }}\right|^{2}\left\|v\right\|^{2}+\left\|z\right\|^{2}+2\mathrm {Re} \langle z,{\frac {\langle u,v\rangle }{\langle v,v\rangle }}v\rangle ={\frac {|\langle u,v\rangle |^{2}}{\left\|v\right\|^{2}}}+\left\|z\right\|^{2}\geq {\frac {|\langle u,v\rangle |^{2}}{\left\|v\right\|^{2}}},}$

da cui, moltiplicando entrambi i membri per ${\displaystyle \left\|v\right\|^{2}}$,

${\displaystyle \left\|u\right\|^{2}\left\|v\right\|^{2}\geq \ |\langle u,v\rangle |^{2}.}$

Poiché la norma e il valore assoluto sono non negativi (i quadrati di quantità non negative sono ordinati come le proprie basi), prendendo la radice quadrata di ambo i membri si ottiene

${\displaystyle |\langle u,v\rangle |\leq \ \left\|u\right\|\left\|v\right\|}$ QED.

Dimostrazione 2

La disuguaglianza risulta banalmente vera per ${\displaystyle \mathbf {y} \mathbf {=} \mathbf {0} }$, quindi si assume ${\displaystyle \langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle }$ diverso da zero. Sia ${\displaystyle \lambda }$ un numero complesso. Si ha:

${\displaystyle 0\leq \left\|\mathbf {x} -\lambda \mathbf {y} \right\|^{2}=\langle \mathbf {x} -\lambda \mathbf {y} ,\mathbf {x} -\lambda \mathbf {y} \rangle }$

${\displaystyle =\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle -\lambda \langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle -{\overline {\lambda }}\langle \mathbf {y} ,\mathbf {x} \rangle +|\lambda |^{2}\langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle .}$

Scegliendo

${\displaystyle \lambda =\langle \mathbf {y} ,\mathbf {x} \rangle \cdot \langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle ^{-1}}$, e ricordando che ${\displaystyle |\lambda |^{2}={\overline {\lambda }}\lambda ,}$

si ottiene:

${\displaystyle 0\leq \langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle -\langle \mathbf {y} ,\mathbf {x} \rangle \langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle ^{-1}\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle -{\overline {\langle \mathbf {y} ,\mathbf {x} \rangle \langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle ^{-1}}}\langle \mathbf {y} ,\mathbf {x} \rangle +{\overline {\langle \mathbf {y} ,\mathbf {x} \rangle \langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle ^{-1}}}\langle \mathbf {y} ,\mathbf {x} \rangle \langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle ^{-1}\langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle }$

${\displaystyle =\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle -{\overline {\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle }}\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle {\langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle ^{-1}}-{\overline {\langle \mathbf {y} ,\mathbf {x} \rangle }}\langle \mathbf {y} ,\mathbf {x} \rangle \langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle ^{-1}+{\overline {\langle \mathbf {y} ,\mathbf {x} \rangle }}\langle \mathbf {y} ,\mathbf {x} \rangle {\langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle ^{-1}}(\langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle ^{-1}\langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle )}$

${\displaystyle =\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle -|\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle |^{2}{\langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle ^{-1}}-|\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle |^{2}\langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle ^{-1}+|\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle |^{2}{\langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle ^{-1}}}$

${\displaystyle =\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle -|\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle |^{2}\cdot \langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle ^{-1}}$

che vale se e solo se

${\displaystyle |\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle |^{2}\leq \langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle \cdot \langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle }$

o equivalentemente

${\displaystyle {\big |}\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle {\big |}\leq \left\|\mathbf {x} \right\|\left\|\mathbf {y} \right\|.}$

Dimostrazione algebrica

Si consideri un polinomio di secondo grado in ${\displaystyle x}$ del tipo:

${\displaystyle p(x)=(a_{1}+b_{1}x)^{2}+\ldots +(a_{n}+b_{n}x)^{2},}$

che non ha radici reali tranne nel caso in cui gli ${\displaystyle a_{i}}$ e i ${\displaystyle b_{i}}$ sono tutti uguali fra loro, o se data una coppia ${\displaystyle (a_{i},b_{i})}$ sussiste un legame di proporzionalità con tutte le coppie ${\displaystyle (a_{j},b_{j})}$ (cioè per ogni ${\displaystyle j\in \{1,2,\ldots ,n\}}$ esiste ${\displaystyle k_{j}\in \mathbb {R} }$ tale che ${\displaystyle a_{j}=k_{j}a_{i}}$ e ${\displaystyle b_{j}=k_{j}b_{i}}$). In tal caso la radice è:

${\displaystyle x=-{\frac {a_{i}}{b_{i}}}=-{\frac {a_{j}}{b_{j}}}=-{\frac {ma_{i}}{mb_{i}}}.}$

Sviluppando i quadrati si ottiene:

${\displaystyle p(x)=a_{1}^{2}+b_{1}^{2}x^{2}+2a_{1}b_{1}x+\ldots +a_{n}^{2}+b_{n}^{2}x^{2}+2a_{n}b_{n}x=\left(\sum _{i=1}^{n}b_{i}^{2}\right)x^{2}+2\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right)x+\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}\right).}$

Poiché il polinomio ha una o nessuna radice, il discriminante dev'essere minore o uguale a 0. Quindi:

${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right)^{2}-\left(\sum _{i=1}^{n}b_{i}^{2}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}\right)\leq 0,}$

da cui si ricava:

${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right)^{2}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}b_{i}^{2}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}\right),}$

che è la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz.

Bibliografia

• Walter Rudin, Principi di analisi matematica, Milano, McGraw-Hill, 1991, ISBN 88-386-0647-1.

Voci correlate

• Disuguaglianza di Bessel
• Disuguaglianza di Hölder
• Disuguaglianza triangolare
• Forma sesquilineare
• Norma (matematica)
• Prodotto scalare

Collegamenti esterni

• (EN) Cauchy-Schwarz inequality, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) V.I. Bityutskov, Bunyakovskii inequality, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.

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