Teorema di Weierstrass

Disambiguazione – Se stai cercando l'omonimo teorema di approssimazione, vedi Teorema di approssimazione di Weierstrass.

In analisi matematica, il teorema di Weierstrass è un importante risultato riguardo all'esistenza di massimi e minimi di funzioni di variabile reale. Il teorema può essere esteso anche a funzioni reali definite in generale su spazi topologici (e dunque anche su qualsiasi spazio metrico).

Enunciato, per funzioni reali a una variabile reale

Sia ${\displaystyle [a,b]\subset \mathbb {R} }$ un intervallo chiuso e limitato non vuoto e sia ${\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} }$ una funzione continua. Allora ${\displaystyle f(x)}$ ammette (almeno) un punto di massimo assoluto e un punto di minimo assoluto nell'intervallo ${\displaystyle [a,b]}$.

Dimostrazione con la nozione di compattezza

Poiché ${\displaystyle f}$ è una funzione continua, essa trasforma insiemi compatti in insiemi compatti. Dato che ${\displaystyle [a,b]}$ è un intervallo chiuso e limitato, per il teorema di Heine-Borel è un compatto; quindi anche la sua immagine mediante ${\displaystyle f}$ sarà un compatto di ${\displaystyle \mathbb {R} }$, e dunque è provvista di massimo e minimo, ovvero ${\displaystyle f}$ assume un valore massimo e uno minimo in essa. Le loro controimmagini in ${\displaystyle [a,b]}$ sono rispettivamente un punto di massimo e uno di minimo assoluti.

Dimostrazione con successioni di punti

Poniamo ${\displaystyle s=\sup f([a,b])}$ e individuiamo una successione ${\displaystyle (y_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$, ${\displaystyle y_{n}\in f[a,b]}$, tale che ${\displaystyle y_{n}\rightarrow s}$ per ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$. Questa successione certamente esiste: infatti dalla definizione di estremo superiore segue che:

• se ${\displaystyle s\in \mathbb {R} }$, allora ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \;\exists y_{n}\in f([a,b])}$ tale che ${\displaystyle s-{\frac {1}{n}}\leq y_{n}\leq s}$.
• se ${\displaystyle s=+\infty }$, allora ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \;\exists y_{n}\in f([a,b])}$ tale che ${\displaystyle n\leq y_{n}}$.

Per ogni ${\displaystyle n}$ scegliamo ora ${\displaystyle t_{n}\in [a,b]}$ tale che ${\displaystyle f(t_{n})=y_{n}}$. Siccome ${\displaystyle [a,b]}$ è limitato, la successione ${\displaystyle (t_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ è limitata, quindi per il teorema di Bolzano - Weierstrass ammette una sottosuccessione ${\displaystyle (t_{n_{k}})_{k\in \mathbb {N} }}$ convergente; sia ${\displaystyle x_{2}\in [a,b]}$ il suo limite per ${\displaystyle k\to \infty .}$ Per la continuità di ${\displaystyle f}$, abbiamo ${\displaystyle y_{n_{k}}=f(t_{n_{k}})\rightarrow f(x_{2})}$ per ${\displaystyle k\rightarrow \infty .}$ D'altra parte ${\displaystyle y_{n_{k}}\to s}$ per ${\displaystyle k\rightarrow \infty }$. Per il teorema dell'unicità del limite si ha che ${\displaystyle s\in \mathbb {R} }$ e ${\displaystyle s=f(x_{2})}$. Abbiamo quindi dimostrato che la funzione ${\displaystyle f}$ assume in ${\displaystyle x_{2}}$ il suo valore massimo.

Similmente si dimostra anche l'esistenza di un punto ${\displaystyle x_{1}}$ dove la funzione assume il suo valore minimo assoluto.

Necessità delle ipotesi

Chiaramente il fatto che una funzione non soddisfi le ipotesi del teorema di Weierstrass, non implica che non esistano massimo o minimo della funzione; semplicemente, rinunciando alle condizioni di Weierstrass, la loro esistenza non è garantita. Inoltre, come si vedrà nei controesempi, queste sono le ipotesi più larghe possibili per cui vale l'enunciato stesso. Il teorema non vale se cade anche solo una delle tre ipotesi.

• ${\displaystyle f}$ non continua: Si consideri ${\displaystyle f:[-1,1]\to \mathbb {R} }$ tale che ${\displaystyle f(x)=|x|}$ per ${\displaystyle x\not =0}$ e ${\displaystyle f(0)=1}$, che non è continua in ${\displaystyle x=0}$. Il teorema non è applicabile, infatti non ha un minimo ma solo un estremo inferiore uguale a ${\displaystyle 0}$.
• L'intervallo non è chiuso: Si consideri ${\displaystyle f:[0,1)\to \mathbb {R} ,x\mapsto x}$. Essa è continua nell'intervallo limitato ${\displaystyle [0,1)}$, che però non è chiuso. Il teorema non è applicabile, infatti non ha un massimo ma solo un estremo superiore uguale a ${\displaystyle 1}$.
• L'intervallo non è limitato: Si consideri ${\displaystyle f:[0,+\infty )\to \mathbb {R} ,x\mapsto \arctan(x)}$. Essa è continua ${\displaystyle [0,+\infty )}$, tuttavia l'intervallo è illimitato. Il teorema non è applicabile, infatti non ha un massimo ma solo un estremo superiore uguale a ${\displaystyle \pi /2}$.

Spazi topologici

Il teorema nell'ambito degli spazi topologici ha la seguente forma:

Sia ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$ uno spazio topologico e sia ${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {R} }$ continua in ${\displaystyle X}$. Allora se ${\displaystyle X}$ è uno spazio compatto^[1], ${\displaystyle f(x)}$ ammette massimo e minimo assoluti in ${\displaystyle X}$. Equivalentemente il teorema vale per i sottoinsiemi compatti di ${\displaystyle X}$. La dimostrazione è quella riportata sopra usando la nozione di compattezza.

Importante conseguenza

Il teorema rese necessario un cambiamento della definizione originaria di massimo/minimo assoluto, la quale originariamente recitava "${\displaystyle x_{0}}$ è il punto di massimo assoluto di una funzione ${\displaystyle f(x)}$ se ${\displaystyle f(x)<f(x_{0})}$ per qualsiasi valore di ${\displaystyle x}$ escluso ${\displaystyle x_{0}}$" e analogamente per il minimo assoluto. Secondo questa definizione, funzioni come ${\displaystyle \sin(x)}$ potrebbero non avere massimi né minimi assoluti in un intervallo sufficientemente ampio, in quanto può esserci più di un valore di ${\displaystyle x}$ che ha come immagine l'estremo superiore o inferiore del codominio. A partire dalla formulazione del teorema di Weierstrass, tutti i valori ${\displaystyle x_{0},x_{1},x_{2},\dots }$ che hanno come immagine uno stesso valore ${\displaystyle y_{max}}$ estremo del codominio si considerano tutti egualmente punti di massimo e minimo assoluti, sicché la nuova definizione, ancora adesso adottata, è "${\displaystyle x_{0}}$ è un punto di massimo assoluto di una funzione ${\displaystyle f(x)}$ se ${\displaystyle f(x)\leq f(x_{0})}$ per qualsiasi valore di ${\displaystyle x}$" e analogamente per il minimo assoluto.

Note

Bibliografia

• Paolo Marcellini e Carlo Sbordone, Analisi matematica Uno, Liguori, 1998, ISBN 88-207-2819-2, OCLC 848639831. URL consultato il 5 febbraio 2020.
• Paolo Maurizio Soardi, Analisi Matematica, CittàStudi, 2007, ISBN 978-88-251-7319-2.

Voci correlate

• Teorema dei valori intermedi
• Teorema di Bolzano
• Teorema di Rolle
• Teorema di Lagrange
• Teorema di Cauchy (analisi matematica)

Collegamenti esterni

• Weierstrass, teorema di (per una funzione continua), in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) Eric W. Weisstein, Extreme Value Theorem, su MathWorld, Wolfram Research.

V · D · M Analisi matematica
Calcolo infinitesimale	Numero reale · Infinitesimo · O-grande · Successione (di funzioni) · Successione di Cauchy · Teorema di Bolzano-Weierstrass · Stima asintotica · Limite (di una funzione · di una successione · Forma indeterminata) · Teorema dei due carabinieri · Limite notevole · Punto di accumulazione · Punto isolato · Intorno · Serie (di funzioni) · Criteri di convergenza · Limite di funzioni a più variabili
Studio della continuità	Funzione continua · Punto di discontinuità · Continuità uniforme · Funzione lipschitziana · Teorema di Bolzano · Teorema di Weierstrass · Teorema dei valori intermedi · Teorema di Heine-Cantor · Modulo di continuità · Funzione semicontinua · Continuità separata · Teorema di approssimazione di Weierstrass
Calcolo differenziale	Derivata · Differenziale · Regole di derivazione · Teorema di Fermat · Teorema di Rolle · Teorema di Lagrange · Teorema di Cauchy · Teorema di Darboux · Teorema di Taylor · Serie di Taylor · Funzione differenziabile · Gradiente · Jacobiana · Hessiana · Forma differenziale · Generalizzazioni della derivata · Derivata parziale · Derivata mista
Integrale	Primitiva · Integrale di Riemann · Integrale improprio · Integrale di Lebesgue · Teorema fondamentale · Metodi di integrazione · Tavole · Integrale multiplo, di linea (1ª specie · 2ª specie) e di superficie (di volume)
Studio di funzione	Funzione · Variabile · Dominio e codominio · Funzioni pari e dispari · Funzione periodica · Funzione monotona · Funzione convessa · Massimo e minimo di una funzione · Punto angoloso · Cuspide · Punto di flesso · Asintoto · Grafico di una funzione · Funzione iniettiva
Disuguaglianze	Disuguaglianza triangolare · Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz · Bernoulli · Jensen · Hölder · Young · Minkowski
Altro	Approssimazione di Stirling · Prodotto di Wallis · Funzione Gamma · Teorema delle funzioni implicite · Teorema della funzione inversa · Funzione hölderiana · Spazio metrico · Spazio normato · Intervallo · Insieme trascurabile · Insieme chiuso · Insieme aperto · Palla · Omeomorfismo · Omeomorfismo locale · Diffeomorfismo · Diffeomorfismo locale · Classe C di una funzione · Equazione differenziale · Problema di Cauchy

V · D · M Topologia
Concetti di Topologia generale	Spazio topologico · Base · Prebase · Ricoprimento · Assiomi di chiusura di Kuratowski · Invariante topologico · Relazione di finezza · Partizione dell'unità · Proprietà dell'intersezione finita Sottoinsiemi Intervallo · Aperto · Intorno · Chiuso · Insieme localmente chiuso · Insieme chiuso-aperto · Parte interna · Chiusura · Frontiera · Insieme derivato · Insieme limite · Insieme perfetto · Insieme denso · Insieme mai denso Punti Punto isolato · Punto di accumulazione · Punto di aderenza Funzioni Funzione continua · Omeomorfismo · Funzione aperta · Funzione chiusa · Funzione propria · Contrazione · Retrazione · Germe di funzione · Funzione a supporto compatto Successioni Limite · Limite di una successione · Successione · Rete · Convergenza · Successione di Cauchy Teoremi Teorema di Weierstrass · Heine-Borel · Tichonov · Lemma del tubo · Urysohn · Tietze · Baire · Brouwer · punto fisso · Teorema di Borsuk · Teorema di Borsuk-Ulam · Teorema della curva di Jordan · Teorema della mappa di Riemann Applicazioni pratiche Topologia dello spazio-tempo · Teoria quantistica dei campi topologica · K-teoria ritorta · Topologia di rete · Controllo della topologia · Topologia molecolare
Spazi topologici	Topologie classiche Topologia banale · Spazio di Sierpiński · Cofinita · Topologia della semicontinuità inferiore · di Zariski · Euclidea · del limite inferiore o di Sorgenfrey · Discreta · Topologia degli interi equispaziati · Insieme reale esteso · Topologia di ordine · Piano di Moore · Topologia p-adica Costruzioni topologiche Topologia prodotto · Topologia di sottospazio · Topologia quoziente · Compattificazione (di Alexandrov · di Stone-Čech) · Cono · Bouquet · Rosa · Sospensione Topologie in Analisi funzionale Spazio funzionale · Topologia iniziale o debole · Topologia operatoriale · Topologia finale o forte · Topologia di Mackey · Topologia polare · Topologie operatoriali debole e forte Altri oggetti topologici Sfera · Palla · Toro · Corpo con manici · Bottiglia di Klein · Bottiglia di Klein solida · Anello · Nastro di Möbius · Retta proiettiva · Piano proiettivo · Superficie di Riemann · Nodo · Nodo torico · Link Frattali Insieme di Cantor · Spazio di Cantor · Polvere di Cantor · Spugna di Menger · Sfera di Alexander · Curva di Peano · Laghi di Wada Strutture miste Spazio vettoriale topologico · Gruppo topologico · Gruppo di Lie · Spazio uniforme · Algebra di Borel
Proprietà degli spazi topologici	Numerabilità Assioma di numerabilità · Spazio primo-numerabile · Spazio separabile · Spazio sequenziale Separazione Assioma di separazione · Spazio T0 · Spazio T1 · Spazio di Hausdorff · Spazio regolare · Spazio di Tichonov · Spazio normale Compattezza Spazio compatto · Spazio paracompatto · Spazio localmente compatto · Spazio di Lindelöf · Sottospazio relativamente compatto · Immersione compatta Connessione Spazio connesso · Spazio semplicemente connesso Metrizzabilità Spazio metrico · Spazio metrico completo · Spazio metrizzabile · Spazio ultrametrico · Spazio pseudometrico · Spazio polacco · Spazio normato · Spazio totalmente limitato Altre proprietà Spazio di Baire · Spazio topologico noetheriano · Spazio omogeneo · Orientazione
Topologia differenziale	Varietà (differenziabile · parallelizzabile · 3-varietà · 3-varietà irriducibile) · Atlante · Diffeomorfismo (locale · di Anosov) · Immersione · Curva · Superficie · Campo vettoriale · Fibrato (principale · vettoriale · Varietà fibrata) · Fibrato tangente · Spazio tangente · Fibrazione di Hopf · Varietà con bordo · Teorema dell'intorno tubolare · Somma connessa · Teorema di Kneser-Milnor · Congettura di geometrizzazione di Thurston · Cobordismo · Dimensione topologica · Topologia in dimensione bassa · Chirurgia di Dehn · Trasversalità · Eversione della sfera · Teoria delle foliazioni · Decomposizione JSJ
Topologia algebrica	Fondamenti Spazio semplicemente connesso · Gruppo fondamentale Omotopia Arco · Nerbo · Omotopia · Gruppi di omotopia Omologia e coomologia Omologia · Omologia singolare · Omologia ciclica · Algebra omologica · Coomologia di De Rham · Categoria abeliana Sollevamento Sollevamento · Teorema del sollevamento dell'omotopia · Teorema di unicità del sollevamento · Teorema di Van Kampen Topologia algebrica avanzata Grado topologico · Indice di avvolgimento · Indice di un campo vettoriale · Rivestimento · Numero di Betti · Successione di Mayer-Vietoris · Successione esatta · Successione spettrale · Complesso simpliciale · Complesso di celle · Complesso di catene · Schema simpliciale Superfici Caratteristica di Eulero · Formula di Eulero per i poliedri · Genere · Taglio · Superficie incompressibile · Classificazione delle superfici · Mapping class group · Teorema della palla pelosa · Teorema di Poincaré-Hopf · Congettura di Poincaré · Congettura di Hodge
Topologi di rilievo	Henri Poincaré · Felix Hausdorff · Georg Cantor · Eduard Čech · John Milnor · Pierre Samuel · Norman Steenrod · René Thom · Samuel Eilenberg · Andrej Nikolaevič Kolmogorov · Stephen Smale · Michael Atiyah · William Thurston · Marston Morse · Luitzen Brouwer

Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica