Fibrato vettoriale

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Il nastro di Möbius ha una struttura di fibrato vettoriale su una circonferenza.

In matematica, un fibrato vettoriale è una costruzione che associa a ogni punto di una varietà topologica (o differenziabile) uno spazio vettoriale (generalmente reale o complesso). Si tratta quindi di un particolare fibrato, la cui fibra ha una struttura di spazio vettoriale.

Il fibrato tangente e il fibrato cotangente sono due esempi.

Definizione

Un fibrato vettoriale reale è un fibrato che ha come fibra uno spazio vettoriale, cioè è una funzione continua suriettiva p : E → B {\displaystyle p\colon E\to B} fra spazi topologici tale che la controimmagine p − 1 ( x ) {\displaystyle p^{-1}(x)} di ogni punto x ∈ B , {\displaystyle x\in B,} detta fibra sopra il punto x , {\displaystyle x,} sia dotata di una struttura di spazio vettoriale reale. Si chiede inoltre che questa struttura vari in modo continuo al variare di x {\displaystyle x} . Questa richiesta è formalizzata chiedendo che la proiezione sia localmente un prodotto. Più precisamente, per ogni punto x {\displaystyle x} dello spazio base B {\displaystyle B} esiste un intorno aperto U {\displaystyle U} del punto x {\displaystyle x} e un omeomorfismo:

ϕ : p − 1 ( U ) → U × R k , {\displaystyle \phi \colon p^{-1}(U)\to U\times \mathbb {R} ^{k},}

tale che:

p r 1 ∘ ϕ = p {\displaystyle \mathrm {pr} _{1}\circ \phi =p}

dove p r 1 : U × R k → U {\displaystyle \mathrm {pr} _{1}\colon U\times \mathbb {R} ^{k}\to U} è la proiezione sul primo fattore. Si richiede inoltre che l'omeomorfismo preservi le strutture di spazi vettoriali, e cioè che l'omeomorfismo:

ϕ | p − 1 ( x ′ ) : p − 1 ( x ′ ) → { x ′ } × R k , {\displaystyle \phi |_{p^{-1}(x')}:p^{-1}(x')\to \lbrace x'\rbrace \times \mathbb {R} ^{k},}

sia anche un isomorfismo di spazi vettoriali, per ogni punto x ′ {\displaystyle {x'}} dell'aperto U . {\displaystyle U.}

Bibliografia

  • M. Abate, F. Tovena, Geometria Differenziale, Springer, 2011, ISBN 978-88-470-1919-5.
  • G. Gentili, F. Podestà, E. Vesentini, Lezioni di Geometria Differenziale, Torino, Bollati Boringhieri, 1995, ISBN 978-88-339-5556-8.
  • Edoardo Sernesi, Geometria 2, Torino, Bollati Boringhieri, 1994, ISBN 978-88-339-5548-3.
  • (EN) I. Kolář, P. Michor, J. Slovák, Natural operators in differential geometry (PDF), Springer-Verlag, 1993. URL consultato il 5 luglio 2013 (archiviato dall'url originale il 30 marzo 2017).

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