Prebase

In matematica, e più precisamente in topologia, una prebase (o sottobase) è una particolare collezione di aperti di uno spazio topologico che ne determina la topologia. Il concetto è strettamente collegato a quello di base.

Definizione

Una prebase di una topologia T {\displaystyle {\mathcal {T}}} per un insieme X {\displaystyle X} è una famiglia S {\displaystyle {\mathcal {S}}} di insiemi aperti, ovvero S ⊆ T {\displaystyle S\subseteq {\mathcal {T}}} , tale che la famiglia delle intersezioni finite di elementi di S {\displaystyle {\mathcal {S}}} è una base della topologia di X {\displaystyle X} [1], cioè l'insieme { X ∈ T | ∃ X 1 , X 2 , . . . , X n ∈ S , X = ⋂ i = 1 n X i } {\displaystyle \left\{X\in {\mathcal {T}}|\exists X_{1},X_{2},...,X_{n}\in S,X=\bigcap _{i=1}^{n}X_{i}\right\}} deve essere una base per T {\displaystyle {\mathcal {T}}} .

Proprietà

Dato un ricoprimento S di un insieme X è possibile definire una topologia su X {\displaystyle X} di cui S è una prebase. La topologia può essere definita in vari modi equivalenti:

  • la topologia meno fine fra tutte quelle che contengono S {\displaystyle {\mathcal {S}}} ,
  • la topologia generata dall'insieme B {\displaystyle {\mathcal {B}}} delle intersezioni finite degli elementi di S {\displaystyle {\mathcal {S}}} (che risulterà una base di tale topologia)
  • la topologia i cui aperti sono unioni (di cardinalità arbitraria) di elementi di B {\displaystyle {\mathcal {B}}}

Note

  1. ^ Sernesi, E., p. 14.

Bibliografia

  • Marco Manetti, Topologia, Springer, 2008, ISBN 978-88-470-0756-7.
  • Edoardo Sernesi, Geometria 2, Torino, Bollati Boringhieri, 1994, ISBN 978-88-339-5548-3.

Voci correlate

  • Spazio topologico
  • Base

Collegamenti esterni

  • (EN) Eric W. Weisstein, Prebase, su MathWorld, Wolfram Research. Modifica su Wikidata
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