Serie telescopica

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L'espressione "serie telescopica" è un termine informale con cui si indica una serie

∑ k = 1 ∞ a k {\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}}

i cui termini appaiono nella forma

a k = A k + 1 − A k {\displaystyle a_{k}=A_{k+1}-A_{k}}

in questo caso le somme parziali si possono esprimere come differenza del primo e ultimo termine della successione { A k } {\displaystyle \{A_{k}\}} :

s n = ∑ k = 1 n ( A k + 1 − A k ) = ( A 2 − A 1 ) + ( A 3 − A 2 ) + ( A 4 − A 3 ) + ⋯ + ( A n − A n − 1 ) + ( A n + 1 − A n ) = A n + 1 − A 1 , {\displaystyle s_{n}=\sum _{k=1}^{n}(A_{k+1}-A_{k})=({\cancel {A_{2}}}-A_{1})+({\cancel {A_{3}}}-{\cancel {A_{2}}})+({\cancel {A_{4}}}-{\cancel {A_{3}}})+\cdots +({\cancel {A_{n}}}-{\cancel {A_{n-1}}})+(A_{n+1}-{\cancel {A_{n}}})=A_{n+1}-A_{1}\,,}

e il calcolo della serie si riduce al calcolo del limite della successione { A k } {\displaystyle \{A_{k}\}} , dato che, a questo punto, risulta l'unica operazione non banale:

lim n → ∞ s n = lim n → ∞ A n + 1 − A 1 = … {\displaystyle \quad \lim _{n\to \infty }s_{n}=\lim _{n\to \infty }A_{n+1}-A_{1}=\ldots }

Esempi

  • Un tipico esempio è la serie di Mengoli:
∑ k = 1 ∞ 1 k ( k + 1 ) . {\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k(k+1)}}.}

Si può dimostrare che la somma di questa serie è 1 {\displaystyle 1} infatti

1 k ( k + 1 ) = ( − 1 k + 1 ) − ( − 1 k ) , {\displaystyle {\frac {1}{k(k+1)}}=\left(-{\frac {1}{k+1}}\right)-\left(-{\frac {1}{k}}\right),}

cioè si tratta di una serie telescopica con A k = − 1 k {\displaystyle A_{k}=-{\frac {1}{k}}} e quindi

∑ k = 1 ∞ 1 k ( k + 1 ) = lim n → ∞ ( − 1 n + 1 ) − ( − 1 ) = 1. {\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k(k+1)}}=\lim _{n\to \infty }\left(-{\frac {1}{n+1}}\right)-(-1)=1.}
  • Altro esempio è la serie geometrica:
∑ k = 0 n q k = ∑ k = 0 n ( 1 − q k + 1 1 − q − 1 − q k 1 − q ) = 1 − q n + 1 1 − q , per  q ≠ 1 , {\displaystyle \sum _{k=0}^{n}q^{k}=\sum _{k=0}^{n}\left({\frac {1-q^{k+1}}{1-q}}-{\frac {1-q^{k}}{1-q}}\right)={\frac {1-q^{n+1}}{1-q}},\quad {\text{per }}q\neq 1,}
∑ k = 0 n q k = n + 1 , per  q = 1 , {\displaystyle \sum _{k=0}^{n}q^{k}=n+1,\quad {\text{per }}q=1,}

da cui si dimostra subito che se | q | < 1 {\displaystyle \left|q\right|<1} la serie converge a 1 1 − q {\displaystyle {\frac {1}{1-q}}} .

Collegamenti esterni

  • (EN) Eric W. Weisstein, Serie telescopica, su MathWorld, Wolfram Research. Modifica su Wikidata
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