Uno dei primi teoremi della teoria dei numeri dimostrato in modo analitico è la divergenza della serie dei reciproci dei numeri primi, cioè
dove la variabile indica un numero primo.
Dimostrazione (Eulero)
Per la dimostrazione è necessario un lemma riguardante la serie armonica.
Dalla definizione del numero di Nepero si ricava immediatamente che
per ogni intero positivo, prendendo il logaritmo di entrambi i membri si ottiene
da cui
e infine
Considerando adesso la somma dei reciproci di tutti i numeri naturali fino a si ricava
- [1]
Quest'ultima disuguaglianza sarà fondamentale nella dimostrazione della divergenza della somma dei reciproci dei numeri primi.
Adesso definiamo il prodotto come
Sapendo che
- [2]
si ricava
dove l'insieme è definito come
Evidentemente se allora quindi
e dalla disuguaglianza ricavata sulla serie armonica si ricava
Adesso sapendo che per ogni si ottiene
dove l'ultimo membro diverge per tendente a infinito, quindi la serie dei reciproci dei numeri primi diverge.
Seconda dimostrazione (Eulero)
Eulero fornì anche un'altra dimostrazione, partendo sempre dalla serie armonica. Usando l'espansione di questa come prodotto infinito scrisse:
usando le proprietà dei logaritmi; quindi espanse la somma come la serie di Taylor di :
I termini ecc., possono essere maggiorati come:
Il secondo addendo converge perché è minore della corrispondente serie in cui gli addendi sono presi tra tutti i naturali anziché solo tra i primi; quindi
Poiché la somma cresce come per tendente all'infinito, Eulero concluse che
Terza dimostrazione (Erdős)
La dimostrazione di Erdős fa uso solo di metodi elementari.
Per assurdo sia allora esiste un numero primo tale che .
Sia un intero arbitrario, indichiamo con il numero di interi minori o uguali a che hanno solo fattori primi minori o uguali a , indichiamo anche . Abbiamo che
Ora stimiamo , scriviamo , ogni si può scrivere nella forma
dove è privo di quadrati e , se è divisibile solo per i primi minori o uguali a , allora lo è anche . Ci sono meno di possibili scelte per e meno di scelte per , da cui
e quindi
si dimostra facilmente per induzione e utilizzando il postulato di Bertrand che per l'ennesimo numero primo si ha e di conseguenza , quindi possiamo scegliere e troviamo
che è assurdo e conclude la dimostrazione.
Note
- ^ Questa è una serie telescopica che si riduce a .
- ^ Questa è la formula (vista "al contrario") della serie geometrica, per cui, dato (in questo caso ), si ha .
Voci correlate
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