Successione di Lucas

La successione di Lucas prende il nome dal matematico francese Édouard Lucas (1842 – 1891) che la ideò e ne studiò le proprietà.

In matematica, la successione di Lucas, indicata con L n {\displaystyle L_{n}} è una successione di numeri interi positivi in cui ciascun numero è la somma dei due precedenti e i primi due termini della successione sono, per definizione, L 0 = 2 {\displaystyle L_{0}=2} e L 1 = 1 {\displaystyle L_{1}=1} . Questa successione ha quindi una definizione ricorsiva secondo la regola:

L 0 = 2 , {\displaystyle L_{0}=2,}
L 1 = 1 , {\displaystyle L_{1}=1,}
L n = L n − 1 + L n − 2 {\displaystyle L_{n}=L_{n-1}+L_{n-2}} (per ogni n>1)

Gli elementi L n {\displaystyle L_{n}} sono anche detti numeri di Lucas.

Pertanto i primi quindici termini della successione di Lucas sono: { 2 , 1 , 3 , 4 , 7 , 11 , 18 , 29 , 47 , 76 , 123 , 199 , 322 , 521 , 843 … } . {\displaystyle \{2,1,3,4,7,11,18,29,47,76,123,199,322,521,843\dots \}.}

La successione di Lucas ha la stessa relazione ricorsiva della successione di Fibonacci, dove ogni termine è la somma dei due termini precedenti, ma con valori iniziali diversi. Questo produce una successione in cui i rapporti dei termini successivi si avvicinano al rapporto aureo, e in effetti i termini stessi sono un arrotondamento di potenze intere del rapporto aureo.[1] La successione ha anche una varietà di relazioni con i numeri di Fibonacci, come il fatto che la somma di due numeri a due posizioni di distanza nella successione di Fibonacci dia per risultato il numero di Lucas in mezzo.[2]

Proprietà principale

Il rapporto L n L n − 1 {\displaystyle {\frac {L_{n}}{L_{n-1}}}} , per n {\displaystyle n} tendente all'infinito, tende al numero algebrico irrazionale ϕ {\displaystyle \phi } chiamato sezione aurea o numero di Fidia. In termini matematici:

lim n → ∞ L n L n − 1 = ϕ {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{L_{n} \over L_{n-1}}=\,\phi }


dove

ϕ = 1 + 5 2 = 1,618 0339887 … {\displaystyle \,\phi ={1+{\sqrt {5}} \over 2}=1{,}6180339887\dots }

Non è noto se i numeri primi che sono anche numeri di Lucas siano o meno infiniti, ma si può dimostrare che ogni numero primo divide almeno uno, e di conseguenza infiniti, numeri di Lucas.

Note

  1. ^ (EN) Matt Parker, 13, in Things to Make and Do in the Fourth Dimension, Farrar, Straus and Giroux, 2014, p. 284, ISBN 978-0-374-53563-6.
  2. ^ (EN) Matt Parker, 13, in Things to Make and Do in the Fourth Dimension, Farrar, Straus and Giroux, 2014, p. 282, ISBN 978-0-374-53563-6.

Bibliografia

  • (EN) Thomas Koshy, Fibonacci and Lucas Numbers with Applications. Wiley, 2001. ISBN 0-471-39969-8

Voci correlate

  • Successione di Fibonacci
  • Sezione aurea

Collegamenti esterni

  • (EN) Eric W. Weisstein, Successione di Lucas, su MathWorld, Wolfram Research. Modifica su Wikidata
  Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica