Fattoriale

Grafico del logaritmo naturale del fattoriale
Grafico del logaritmo naturale del fattoriale

In matematica, si definisce fattoriale di un numero naturale n {\displaystyle n} , indicato con n ! {\displaystyle n!} , il prodotto dei numeri interi positivi minori o uguali a tale numero. In formula:

n ! := ∏ k = 1 n k = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋯ ( n − 1 ) ⋅ n {\displaystyle n!:=\prod _{k=1}^{n}k=1\cdot 2\cdot 3\cdots (n-1)\cdot n}

per la convenzione del prodotto vuoto si definisce inoltre 0 ! := 1 {\displaystyle 0!:=1} . La generalizzazione analitica del fattoriale è nota con il nome di funzione gamma di Eulero.

La notazione con il punto esclamativo è stata introdotta nel 1807 da Christian Kramp, mentre il nome fattoriale era stato coniato pochi anni prima, nel 1800 da Antoine Arbogast.

La sequenza dei fattoriali compare nella On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (OEIS) come sequenza A000142.

Esempio di numeri fattoriali

I valori dei primi numeri fattoriali sono riassunti nella seguente tabella:

n n!
0 1
1 1
2 2
3 6
4 24
5 120
6 720
7 5 040
8 40 320
9 362 880
10 3 628 800
11 39 916 800
12 479 001 600
13 6 227 020 800
14 87 178 291 200
15 1 307 674 368 000
16 20 922 789 888 000
17 355 687 428 096 000
18 6 402 373 705 728 000
19 121 645 100 408 832 000
20 2 432 902 008 176 640 000

Definizione ricorsiva

La funzione fattoriale può anche essere definita in modo ricorsivo:

n ! := { 1 se  n = 0 , n ( n − 1 ) ! se  n ≥ 1 {\displaystyle n!:={\begin{cases}1&{\text{se }}n=0,\\n(n-1)!&{\text{se }}n\geq 1\end{cases}}}

Per questa ragione, viene spesso utilizzata nell'insegnamento dell'informatica per fornire il primo esempio di calcolo ricorsivo.

Zero fattoriale

Nella definizione come produttoria, la richiesta che 0 ! {\displaystyle 0!} sia pari a uno si accorda con la richiesta che il prodotto di zero fattori, il cosiddetto prodotto vuoto, come la potenza nulla di un intero positivo, sia uguale ad 1 {\displaystyle 1} . Per convincersi ulteriormente di questo fatto, si può anche pensare di definire 1 ! = 1 {\displaystyle 1!=1} e osservare che

1 = 1 ! = 1 ⋅ ( 1 − 1 ) ! = 1 ⋅ 0 ! = 0 ! {\displaystyle 1=1!=1\cdot (1-1)!=1\cdot 0!=0!}

come si desume dalla definizione ricorsiva.

Applicazioni

I fattoriali innanzitutto sono importanti nel calcolo combinatorio. In particolare vi sono n ! {\displaystyle n!} diverse sequenze formate da n {\displaystyle n} oggetti distinti, cioè vi sono n ! {\displaystyle n!} permutazioni di n {\displaystyle n} oggetti; i fattoriali quindi enumerano le permutazioni.

Data l'importanza delle permutazioni, segue che i fattoriali si incontrano in numerosissime espressioni. Ad esempio, rimanendo nel calcolo combinatorio, il numero di scelte di k {\displaystyle k} oggetti fra quelli che costituiscono un insieme di n {\displaystyle n} elementi, cioè il numero dei sottoinsiemi di k {\displaystyle k} elementi di un dato insieme di n {\displaystyle n} oggetti, è dato dal cosiddetto coefficiente binomiale:

( n k ) = n ! k ! ( n − k ) ! {\displaystyle {\binom {n}{k}}={\dfrac {n!}{k!(n-k)!}}}

I fattoriali si incontrano anche nel calcolo infinitesimale: innanzitutto va osservato che la n {\displaystyle n} -esima derivata di x n {\displaystyle x^{n}} è n ! {\displaystyle n!} ; una conseguenza di questo fatto è il teorema di Taylor che esprime una funzione f ( x ) {\displaystyle f(x)} come serie di potenze nella x {\displaystyle x} servendosi dei fattoriali e dei valori delle derivate. I fattoriali si incontrano spesso anche nelle espressioni delle funzioni speciali, nell'analisi numerica, nel calcolo delle probabilità, nella meccanica statistica e nella meccanica quantistica.

Varianti e generalizzazioni

Il fattoriale presenta numerose varianti e generalizzazioni. Tra le prime il multifattoriale e in particolare il semifattoriale, il fattoriale crescente e il fattoriale decrescente. Tra le generalizzazioni discrete troviamo l'iperfattoriale e il superfattoriale. Molte di queste varianti nascono dal calcolo della cardinalità di alcuni insiemi nati dalla combinatoria. La funzione gamma è invece una generalizzazione continua.

Funzione gamma

Lo stesso argomento in dettaglio: Funzione gamma.

La funzione gamma è una funzione analitica definibile mediante l'integrale

Γ ( z ) := ∫ 0 + ∞ t z − 1 e − t d t per  R e ( z ) > 0. {\displaystyle \Gamma (z):=\int _{0}^{+\infty }t^{z-1}e^{-t}\,dt\quad {\text{per }}\mathrm {Re} (z)>0.}

per essa si dimostrano facilmente le proprietà

Γ ( 1 ) = 1 Γ ( z + 1 ) = z Γ ( z ) per  R e ( z ) > 0. {\displaystyle \Gamma (1)=1\qquad \Gamma (z+1)=z\Gamma (z)\quad {\text{per }}\mathrm {Re} (z)>0.}

essa dunque estende la funzione fattoriale definita sugli interi naturali all'intero campo complesso (con la sola eccezione degli interi negativi):

z ! = Γ ( z + 1 ) = ∫ 0 + ∞ t z e − t d t . {\displaystyle z!=\Gamma (z+1)=\int _{0}^{+\infty }t^{z}e^{-t}\,dt.}

Si dimostra inoltre che essa è l'unica estensione analitica del fattoriale.

Semifattoriale o doppio fattoriale

La notazione n ! ! {\displaystyle n!!} denota il semifattoriale (o doppio fattoriale) di n {\displaystyle n} ed è definita ricorsivamente nel modo seguente:

n ! ! = { 1 se  n = 0  o  n = 1 , n ⋅ ( n − 2 ) ! ! se  n ≥ 2. {\displaystyle n!!={\begin{cases}1&{\text{se }}n=0{\text{ o }}n=1,\\n\cdot (n-2)!!&{\text{se }}n\geq 2.\end{cases}}}

per esempio 8 ! ! = 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ 8 = 384 {\displaystyle 8!!=2\cdot 4\cdot 6\cdot 8=384} e 9 ! ! = 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 9 = 945 {\displaystyle 9!!=1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 9=945} . La sequenza di semifattoriali per n = 0 , 1 , 2 , … {\displaystyle n=0,1,2,\dots } è la seguente[1]:

1 , 1 , 2 , 3 , 8 , 15 , 48 , 105 , 384 , 945 , 3840 , … {\displaystyle 1,1,2,3,8,15,48,105,384,945,3840,\dots }

Tra le identità che legano il fattoriale al doppio fattoriale, troviamo:

n ! = n ! ! ⋅ ( n − 1 ) ! ! 2 n ⋅ n ! = ( 2 n ) ! ! ( 2 n + 1 ) ! 2 n ⋅ n ! = ( 2 n + 1 ) ! ! {\displaystyle {\begin{aligned}n!&=n!!\cdot (n-1)!!\\2^{n}\cdot n!&=(2n)!!\\{\dfrac {(2n+1)!}{2^{n}\cdot n!}}&=(2n+1)!!\end{aligned}}}
La seconda identità risulta utile per i semifattoriali pari, mentre l'ultima identità per i semifattoriali dispari: è deducibile dalla constatazione che moltiplicare tra loro tutti i numeri dispari fino a 2 n + 1 {\displaystyle 2n+1} equivale a moltiplicare tutti gli interi fino a 2 n + 1 {\displaystyle 2n+1} per poi eliminare, ossia dividere, quelli pari, ossia 2 n ⋅ n ! {\displaystyle 2^{n}\cdot n!} ).

Multifattoriale

La notazione n ! ( α ) {\displaystyle n!_{(\alpha )}} denota il multifattoriale di n {\displaystyle n} ed è definita ricorsivamente nel modo seguente:

n ! ( α ) = { 1 se  n = 0 n se  0 < n < α n ⋅ ( n − α ) ! ( α ) se  n ≥ α . {\displaystyle n!_{(\alpha )}={\begin{cases}1&{\text{se }}n=0\\n&{\text{se }}0<n<\alpha \\n\cdot (n-\alpha )!_{(\alpha )}&{\text{se }}n\geq \alpha .\end{cases}}}

Valutazione numerica dei fattoriali

Il valore numerico di n ! {\displaystyle n!} può essere calcolato mediante ripetute moltiplicazioni fino ad un valore non eccessivo di n {\displaystyle n} ; questo è ciò che fanno le calcolatrici odierne. Al di sopra di un certo n {\displaystyle n} lo strumento di calcolo in uso cessa di dare risultati sensati per via dell'overflow. Ad esempio, una calcolatrice capace di operare su 100 {\displaystyle 100} cifre decimali riesce a calcolare 69 ! {\displaystyle 69!} , ma non il fattoriale successivo, in quanto 70 ! > 10 100 {\displaystyle 70!>10^{100}} .

Quando n {\displaystyle n} è molto grande in genere non serve conoscere il valore preciso di n ! {\displaystyle n!} e può essere sufficiente stimarlo con una opportuna accuratezza. Per questo scopo in genere si usa l'approssimazione di Stirling:

n ! ≈ 2 π n ( n e ) n   . {\displaystyle n!\approx {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}~.}

Note

  1. ^ (EN) Sequenza A006882, su On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, The OEIS Foundation.

Bibliografia

  • (FR) M. J. Hadamard, Sur L'Expression Du Produit 1·2·3· · · · ·(n−1) Par Une Fonction Entière (PDF), Œuvres de Jacques Hadamard, Centre National de la Recherche Scientifiques, Paris, 1968, 1894.
  • (EN) Srinivasa Ramanujan, The lost notebook and other unpublished papers, Springer Berlin, 1988, p. 339, ISBN 3-540-18726-X.

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