Teorema di Cayley

Il teorema di Cayley, dal nome del matematico britannico Arthur Cayley, è un teorema riguardante la teoria dei gruppi.

Il teorema asserisce che ogni gruppo è isomorfo a un sottogruppo di un gruppo simmetrico. In altre parole, ogni gruppo può essere considerato come un particolare gruppo di permutazioni.

Enunciato

Sia ${\displaystyle G}$ un gruppo di cardinalità arbitraria (non necessariamente finita). Sia ${\displaystyle S(G)}$ il gruppo simmetrico di ${\displaystyle G}$ (vale a dire il gruppo delle permutazioni dell'insieme ${\displaystyle G}$). Il teorema di Cayley asserisce il fatto seguente:

In particolare, ogni gruppo finito ${\displaystyle G}$ è isomorfo ad un sottogruppo di un gruppo simmetrico finito.

Il gruppo simmetrico su ${\displaystyle n}$ oggetti contiene una copia di ogni gruppo di ordine n.

Costruzione dell'isomorfismo

Un isomorfismo può essere costruito come segue.

${\displaystyle T_{g}\colon G\to G}$ tale che ${\displaystyle T_{g}(x)=gx}$

cioè si moltiplica a sinistra per l'elemento ${\displaystyle g}$ di ${\displaystyle G}$. L'applicazione ${\displaystyle T_{g}}$ è una permutazione sugli elementi di ${\displaystyle G}$ e dunque risulta in ${\displaystyle S(G)}$. Per concludere basta definire l'applicazione:

${\displaystyle T\colon G\to S(G)}$

che associa ad ogni elemento ${\displaystyle g}$ di ${\displaystyle G}$ la corrispondente permutazione ${\displaystyle T_{g}}$.

È semplice mostrare come questa applicazione realizzi effettivamente un omomorfismo (risulta cruciale, per la dimostrazione, la proprietà associativa dell'operazione definita su ${\displaystyle G}$)

Questo omomorfismo, inoltre, risulta essere iniettivo, e quindi ${\displaystyle G}$ è isomorfo alla sua immagine ${\displaystyle T(G)}$.

Osservazione

In generale, la dimostrazione standard del teorema di Cayley non produce la rappresentazione di ${\displaystyle G}$ in un gruppo di permutazioni di ordine minimale.

Semplici esempi di questo si vedono prendendo ${\displaystyle G}$ coincidente proprio con un gruppo di permutazioni.

Ad esempio, si prenda ${\displaystyle G=S_{3}}$, cioè uguale al gruppo simmetrico su 3 oggetti (che ha ordine 3!=6). Utilizzando il procedimento dimostrativo del teorema si riesce a rappresentarlo come sottogruppo di ${\displaystyle S_{6}}$ (un gruppo il cui ordine è 6!=720).

Tuttavia, siccome ${\displaystyle S_{3}}$ è già di per sé un gruppo di permutazioni, una sua rappresentazione è quella su ${\displaystyle S_{3}}$ stesso, che, come già detto, ha solo ordine 6^[1]

Esempi

La costruzione appena descritta può essere concretamente visualizzata su alcuni gruppi noti. Qui ${\displaystyle S_{n}}$ è il gruppo delle permutazioni dell'insieme ${\displaystyle \{0,\ldots ,n-1\}}$ e ogni permutazione è descritta come prodotto di cicli.

• Il gruppo ciclico ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}=\{0,1\}}$ è identificato ad un sottogruppo di ${\displaystyle S_{2}}$: l'elemento ${\displaystyle 0}$ corrisponde all'identità e l'elemento ${\displaystyle 1}$ alla permutazione ${\displaystyle (01).}$
• ${\displaystyle \mathbb {Z} _{3}=\{0,1,2\}}$ è identificato ad un sottogruppo di ${\displaystyle S_{3}}$: l'elemento ${\displaystyle 0}$ corrisponde all'identità, l'elemento ${\displaystyle 1}$ alla permutazione ${\displaystyle (123)}$ e l'elemento ${\displaystyle 2}$ alla permutazione ${\displaystyle (132).}$ L'uguaglianza ${\displaystyle 1+1=2}$ corrisponde a ${\displaystyle (123)(123)=(132).}$
• ${\displaystyle \mathbb {Z} _{4}=\{0,1,2,3\}}$ è identificato ad un sottogruppo di ${\displaystyle S_{4}}$: gli elementi corrispondono a ${\displaystyle e,}$ ${\displaystyle (1234),}$ ${\displaystyle (13)(24),}$ ${\displaystyle (1432).}$

Applicazioni

Il teorema trova numerose applicazioni sia dal punto di vista pratico che teorico. Nella teoria dei grafi permette ad esempio di derivare numerose proprietà strutturali di grafi ed alberi.

Note

Bibliografia

• Israel Nathan Herstein, Algebra, Editori Riuniti, 2003, ISBN 88-359-5479-7.
• Walter Ledermann, Introduzione alla teoria dei gruppi finiti, collana collana Poliedro, Roma, Edizioni Cremonese, 1967, pp. 85-89, ISBN non esistente.

V · D · M Algebra
Numeri	Naturali · Interi · Razionali · Irrazionali · Algebrici · Trascendenti · Reali · Complessi · Numero ipercomplesso · Numero p-adico · Duali · Complessi iperbolici
Principi fondamentali	Principio d'induzione · Principio del buon ordinamento · Relazione di equivalenza · Relazione d'ordine · Associatività della potenza
Algebra elementare	Equazione · Disequazione · Polinomio · Triangolo di Tartaglia · Teorema binomiale · Teorema del resto · Lemma di Gauss · Teorema delle radici razionali · Regola di Ruffini · Criterio di Eisenstein · Criterio di Cartesio · Disequazione con il valore assoluto · Segno · Metodo di Gauss-Seidel · Polinomio simmetrico · Funzione simmetrica
Elementi di Calcolo combinatorio	Fattoriale · Permutazione · Disposizione · Combinazione · Dismutazione · Principio di inclusione-esclusione
Concetti fondamentali di Teoria dei numeri	Primi Numero primo · Teorema dell'infinità dei numeri primi · Crivello di Eratostene · Crivello di Atkin · Test di primalità · Teorema fondamentale dell'aritmetica Divisori Interi coprimi · Identità di Bézout · MCD · mcm · Algoritmo di Euclide · Algoritmo esteso di Euclide · Criteri di divisibilità · Divisore Aritmetica modulare Teorema cinese del resto · Piccolo teorema di Fermat · Teorema di Eulero · Funzione φ di Eulero · Teorema di Wilson · Reciprocità quadratica
Teoria dei gruppi	Gruppi Gruppo (finito · ciclico · abeliano) · Gruppo primario · Gruppo quoziente · Gruppo nilpotente · Gruppo risolubile · Gruppo simmetrico · Gruppo diedrale · Gruppo semplice · Gruppo sporadico · Gruppo mostro · Gruppo di Klein · Gruppo dei quaternioni · Gruppo generale lineare · Gruppo ortogonale · Gruppo unitario · Gruppo unitario speciale · Gruppo residualmente finito · Gruppo spaziale · Gruppo profinito · Out(Fn) · Parola · Prodotto diretto · Prodotto semidiretto · Prodotto intrecciato Teoremi Alternativa di Tits · Teorema di isomorfismo · Teorema di Lagrange · Teorema di Cauchy · Teoremi di Sylow · Teorema di Cayley · Teorema di struttura dei gruppi abeliani finiti · Lemma della farfalla · Lemma del ping-pong · Classificazione dei gruppi semplici finiti Sottoinsiemi Sottogruppo · Sottogruppo normale · Sottogruppo caratteristico · Sottogruppo di Frattini · Sottogruppo di torsione · Classe laterale · Classe di coniugio · Serie di composizione Omomorfismo · Isomorfismo · Automorfismo interno · Automorfismo esterno · Permutazione · Presentazione di un gruppo · Azione di gruppo
Teoria degli anelli	Anello (artiniano · noetheriano · locale) · Caratteristica · Ideale (primo · massimale) · Dominio (a fattorizzazione unica · a ideali principali · euclideo) · Matrice · Anello semplice · Anello degli endomorfismi · Teorema di Artin-Wedderburn · Modulo · Dominio di Dedekind · Estensione di anelli · Teorema della base di Hilbert · Anello di Gorenstein · Base di Gröbner · Prodotto tensoriale · Primo associato
Teoria dei campi	Campo · Polinomio irriducibile · Polinomio ciclotomico · Teorema fondamentale dell'algebra · Campo finito · Automorfismo · Endomorfismo di Frobenius Estensioni Campo di spezzamento · Estensione di campi · Estensione algebrica · Estensione separabile · Chiusura algebrica · Campo di numeri · Estensione normale · Estensione di Galois · Estensione abeliana · Estensione ciclotomica · Teoria di Kummer Teoria di Galois Gruppo di Galois · Teoria di Galois · Teorema fondamentale della teoria di Galois · Teorema di Abel-Ruffini · Costruzioni con riga e compasso
Altre strutture algebriche	Magma · Semigruppo · Corpo · Spazio vettoriale · Algebra su campo · Algebra di Lie · Algebra differenziale · Algebra di Clifford · Gruppo topologico · Gruppo ordinato · Quasi-anello · Algebra di Boole
argomenti	Teoria delle categorie · Algebra lineare · Algebra commutativa · Algebra omologica · Algebra astratta · Algebra computazionale · Algebra differenziale · Algebra universale

Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica