Chiusura algebrica

In matematica, in particolare in algebra, la chiusura algebrica di un campo ${\displaystyle K}$ è la più piccola estensione algebrica di ${\displaystyle K}$ che è algebricamente chiusa; in termini meno rigorosi, la chiusura algebrica di ${\displaystyle K}$ è quel campo che si ottiene "aggiungendo" a ${\displaystyle K}$ le radici di tutti i polinomi a coefficienti in ${\displaystyle K}$.

Ogni campo ha una chiusura algebrica, e questa è unica a meno di isomorfismi: questo permette di parlare della chiusura algebrica di ${\displaystyle K}$, invece che di una chiusura algebrica di ${\displaystyle K}$.

Esempi

• Il teorema fondamentale dell'algebra afferma che il campo ${\displaystyle \mathbb {C} }$ dei numeri complessi è algebricamente chiuso, e di conseguenza è la chiusura algebrica del campo dei numeri reali. Tuttavia, ${\displaystyle \mathbb {C} }$ non è la chiusura algebrica del campo ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ dei numeri razionali, in quanto contiene elementi (i numeri trascendenti) che non sono algebrici su ${\displaystyle \mathbb {Q} }$. La chiusura algebrica dei razionali è, invece, il campo dei numeri algebrici.

• Esistono molti campi algebricamente chiusi all'interno dei numeri complessi e contenenti strettamente il campo dei numeri algebrici. Tra questi, vi sono le chiusure algebriche delle estensioni trascendenti dei numeri razionali, ad esempio la chiusura algebrica di ${\displaystyle \mathbb {Q} (\pi )}$.

• Per un campo finito di caratteristica prima p, la chiusura algebrica è un campo di cardinalità numerabile, che contiene una copia del campo di ordine ${\displaystyle p^{n}}$ per ogni intero positivo n (ed è di fatto l'unione di queste copie).

Esistenza ed unicità

Usando il lemma di Zorn, può essere mostrato che ogni campo ha una chiusura algebrica, e che la chiusura algebrica di un campo ${\displaystyle K}$ è unica a meno di isomorfismi che fissano ogni elemento di ${\displaystyle K}$. Tuttavia, non esiste un isomorfismo "canonico" tra due chiusure algebriche: ad esempio, date due chiusure ${\displaystyle F_{1},F_{2}}$ del campo ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ con p elementi, esistono un numero infinito (e non numerabile) di isomorfismi di ${\displaystyle F_{1}}$ in ${\displaystyle F_{2}}$.

Proprietà

La chiusura algebrica ${\displaystyle {\overline {K}}}$ di ${\displaystyle K}$ può essere vista come la più grande estensione algebrica di ${\displaystyle K}$, nel senso che ogni altra estensione algebrica ${\displaystyle L}$ di ${\displaystyle K}$ può essere immersa dentro ${\displaystyle {\overline {K}}}$ (generalmente in modo non unico); ne segue anche che ${\displaystyle {\overline {K}}}$ è anche la chiusura algebrica di ${\displaystyle L}$.

La chiusura algebrica di un campo ${\displaystyle K}$ ha la stessa cardinalità di ${\displaystyle K}$ se ${\displaystyle K}$ è infinito, ed è numerabile se ${\displaystyle K}$ è finito.

Bibliografia

• Stefania Gabelli, Teoria delle Equazioni e Teoria di Galois, Milano, Springer, 2008, ISBN 978-88-470-0618-8.
• James S. Milne, Fields and Galois Theory (PDF), v.4.30, 2012. URL consultato il 6 dicembre 2012.

Voci correlate

• Estensione algebrica
• Campo finito
• Campo di spezzamento

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Chiusura algebrica, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Chiusura algebrica, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.

V · D · M Algebra
Numeri	Naturali · Interi · Razionali · Irrazionali · Algebrici · Trascendenti · Reali · Complessi · Numero ipercomplesso · Numero p-adico · Duali · Complessi iperbolici
Principi fondamentali	Principio d'induzione · Principio del buon ordinamento · Relazione di equivalenza · Relazione d'ordine · Associatività della potenza
Algebra elementare	Equazione · Disequazione · Polinomio · Triangolo di Tartaglia · Teorema binomiale · Teorema del resto · Lemma di Gauss · Teorema delle radici razionali · Regola di Ruffini · Criterio di Eisenstein · Criterio di Cartesio · Disequazione con il valore assoluto · Segno · Metodo di Gauss-Seidel · Polinomio simmetrico · Funzione simmetrica
Elementi di Calcolo combinatorio	Fattoriale · Permutazione · Disposizione · Combinazione · Dismutazione · Principio di inclusione-esclusione
Concetti fondamentali di Teoria dei numeri	Primi Numero primo · Teorema dell'infinità dei numeri primi · Crivello di Eratostene · Crivello di Atkin · Test di primalità · Teorema fondamentale dell'aritmetica Divisori Interi coprimi · Identità di Bézout · MCD · mcm · Algoritmo di Euclide · Algoritmo esteso di Euclide · Criteri di divisibilità · Divisore Aritmetica modulare Teorema cinese del resto · Piccolo teorema di Fermat · Teorema di Eulero · Funzione φ di Eulero · Teorema di Wilson · Reciprocità quadratica
Teoria dei gruppi	Gruppi Gruppo (finito · ciclico · abeliano) · Gruppo primario · Gruppo quoziente · Gruppo nilpotente · Gruppo risolubile · Gruppo simmetrico · Gruppo diedrale · Gruppo semplice · Gruppo sporadico · Gruppo mostro · Gruppo di Klein · Gruppo dei quaternioni · Gruppo generale lineare · Gruppo ortogonale · Gruppo unitario · Gruppo unitario speciale · Gruppo residualmente finito · Gruppo spaziale · Gruppo profinito · Out(Fn) · Parola · Prodotto diretto · Prodotto semidiretto · Prodotto intrecciato Teoremi Alternativa di Tits · Teorema di isomorfismo · Teorema di Lagrange · Teorema di Cauchy · Teoremi di Sylow · Teorema di Cayley · Teorema di struttura dei gruppi abeliani finiti · Lemma della farfalla · Lemma del ping-pong · Classificazione dei gruppi semplici finiti Sottoinsiemi Sottogruppo · Sottogruppo normale · Sottogruppo caratteristico · Sottogruppo di Frattini · Sottogruppo di torsione · Classe laterale · Classe di coniugio · Serie di composizione Omomorfismo · Isomorfismo · Automorfismo interno · Automorfismo esterno · Permutazione · Presentazione di un gruppo · Azione di gruppo
Teoria degli anelli	Anello (artiniano · noetheriano · locale) · Caratteristica · Ideale (primo · massimale) · Dominio (a fattorizzazione unica · a ideali principali · euclideo) · Matrice · Anello semplice · Anello degli endomorfismi · Teorema di Artin-Wedderburn · Modulo · Dominio di Dedekind · Estensione di anelli · Teorema della base di Hilbert · Anello di Gorenstein · Base di Gröbner · Prodotto tensoriale · Primo associato
Teoria dei campi	Campo · Polinomio irriducibile · Polinomio ciclotomico · Teorema fondamentale dell'algebra · Campo finito · Automorfismo · Endomorfismo di Frobenius Estensioni Campo di spezzamento · Estensione di campi · Estensione algebrica · Estensione separabile · Chiusura algebrica · Campo di numeri · Estensione normale · Estensione di Galois · Estensione abeliana · Estensione ciclotomica · Teoria di Kummer Teoria di Galois Gruppo di Galois · Teoria di Galois · Teorema fondamentale della teoria di Galois · Teorema di Abel-Ruffini · Costruzioni con riga e compasso
Altre strutture algebriche	Magma · Semigruppo · Corpo · Spazio vettoriale · Algebra su campo · Algebra di Lie · Algebra differenziale · Algebra di Clifford · Gruppo topologico · Gruppo ordinato · Quasi-anello · Algebra di Boole
argomenti	Teoria delle categorie · Algebra lineare · Algebra commutativa · Algebra omologica · Algebra astratta · Algebra computazionale · Algebra differenziale · Algebra universale

Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica