Primo associato

In matematica e in particolare in algebra astratta, un primo associato di un modulo ${\displaystyle M}$ su un anello ${\displaystyle R}$ è un ideale primo di ${\displaystyle R}$ che è un annichilatore di un sottomodulo (primo) di ${\displaystyle M.}$ L'insieme dei primi associati di ${\displaystyle M}$ è solitamente indicato con ${\displaystyle \operatorname {Ass} _{R}(M),}$

In algebra commutativa, i primi associati sono legati alla decomposizione primaria di Lasker-Noether di ideali in anelli noetheriani commutativi. Nello specifico, data la decomposizione di un ideale ${\displaystyle J}$ come intersezione finita di ideali primari, i radicali di questi ideali primari sono ideali primi e questo insieme di ideali primi coincide con ${\displaystyle \operatorname {Ass} _{R}(R/J).}$

Correlati al concetto di "primo associato" ci sono i concetti di primo isolato e primo immerso.

Definizioni

Un ${\displaystyle R}$-modulo non nullo ${\displaystyle N}$ è detto modulo primo se ${\displaystyle \mathrm {Ann} _{R}(N)=\mathrm {Ann} _{R}(N')}$ per ogni sottomodulo non nullo ${\displaystyle N'}$ di ${\displaystyle N.}$ Per un modulo primo ${\displaystyle N,}$ l'annichilatore ${\displaystyle \mathrm {Ann} _{R}(N)}$ è un ideale primo di ${\displaystyle R.}$

Un primo associato di un ${\displaystyle R}$-modulo ${\displaystyle M}$ è un ideale della forma ${\displaystyle \mathrm {Ann} _{R}(N)}$ per qualche sottomodulo primo ${\displaystyle N}$ di ${\displaystyle M.}$ In algebra commutativa la definizione usuale è differente ma equivalente: se ${\displaystyle R}$ è commutativo, un primo associato ${\displaystyle P}$ di ${\displaystyle M}$ è un ideale primo della forma ${\displaystyle \mathrm {Ann} _{R}(m)}$ per qualche elemento non nullo ${\displaystyle m}$ di ${\displaystyle M}$ o, equivalentemente, ${\displaystyle R/P}$ è isomorfo a un sottomodulo di ${\displaystyle M.}$

In un anello commutativo ${\displaystyle R,}$ gli elementi minimali di ${\displaystyle \operatorname {Ass} _{R}(M)}$ (rispetto alla relazione d'inclusione di insiemi) sono detti primi isolati e gli altri primi associati (cioè quelli che contengono propriamente un primo associato) sono detti primi immersi.

Un sottomodulo ${\displaystyle N}$ di ${\displaystyle M}$ è detto primario se per ogni ${\displaystyle r\in R}$ e ${\displaystyle m\in M}$ si ha che ${\displaystyle m\notin N}$ e ${\displaystyle rm\in N}$ implicano ${\displaystyle r^{n}M\subset N}$ per qualche intero positivo ${\displaystyle n.}$ Un modulo ${\displaystyle M}$ è detto coprimario se il sottomodulo ${\displaystyle 0}$ è primario, cioè se per qualche elemento non nullo ${\displaystyle m\in M}$ si ha che ${\displaystyle rm=0}$ implica ${\displaystyle r^{n}M=0}$ per qualche intero positivo ${\displaystyle n.}$

Un modulo non nullo ${\displaystyle M}$ finitamente generato su un anello noetheriano commutativo è coprimario se e solo se ha un unico primo associato ${\displaystyle P.}$

Un sottomodulo ${\displaystyle N}$ di ${\displaystyle M}$ è detto ${\displaystyle P}$-primario se ${\displaystyle \operatorname {Ass} _{R}(M/N)=\{P\}.}$ Un ideale ${\displaystyle I}$ è un ideale ${\displaystyle P}$-primario se e solo se ${\displaystyle \operatorname {Ass} _{R}(R/I)=\{P\}.}$ Quindi questa nozione è una generalizzazione di quella di ideale primario.

Esempi

• Se ${\displaystyle R=\mathbb {C} [x,y,z,w],}$ gli ideali primi associati di ${\displaystyle I=((x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2})\cdot (z^{3}-w^{3}-3x^{3}))}$ sono gli ideali ${\displaystyle (x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2})}$ e ${\displaystyle (z^{3}-w^{3}-3x^{3}).}$
• Se ${\displaystyle R=\mathbb {Z} ,}$ allora i gruppi abeliani liberi non banali e i gruppi abeliani non banali di ordine una potenza di un primo sono coprimari.

Bibliografia

• (EN) Hideyuki Matsumura, Commutative algebra, 1970.
• (EN) David Eisenbud, Commutative algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 150, Berlin, New York, Springer-Verlag, 1995, ISBN 978-0-387-94268-1, MR 1322960.
• (EN) Tsit-Yuen Lam, Lectures on modules and rings, Graduate Texts in Mathematics, vol. 189, Berlin, New York, Springer-Verlag, 1999, ISBN 978-0-387-98428-5, MR 1653294.
• (FR) Bourbaki, Algèbre commutative, 1961.

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