Gruppo unitario

Il gruppo unitario U(n) è l'insieme delle matrici unitarie n×n con l'operazione di moltiplicazione tra matrici. È un sottogruppo di G L ( n , C ) {\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )} , cioè il gruppo lineare generale delle matrici complesse invertibili.

Il sottoinsieme di esso che comprende solamente le matrici con determinante 1 è il gruppo unitario speciale, denotato con SU(n).

U(n) è un gruppo di Lie di dimensione n2.

Se n=1, allora U(n) è semplicemente l'insieme dei numeri complessi con norma pari a 1. Per n>1, invece, il gruppo non è commutativo; il suo centro è l'insieme aI, dove I è la matrice identità di ordine n e a è un qualunque scalare la cui norma è uguale a 1.

Il gruppo U(1) è isomorfo al gruppo circolare.

Matrice unitaria

Lo stesso argomento in dettaglio: Matrice unitaria.

In matematica, una matrice unitaria n × n è una matrice complessa U che soddisfa la condizione:

U † U = U U † = I n {\displaystyle U^{\dagger }U=UU^{\dagger }=I_{n}}

dove I n {\displaystyle I_{n}} è la matrice identità n × n {\displaystyle n\times n} e U † {\displaystyle U^{\dagger }} è la trasposta coniugata (ovvero la aggiunta hermitiana) della U {\displaystyle U} . Si noti che la precedente uguaglianza equivale a dire che una matrice U {\displaystyle U} è unitaria se possiede una inversa uguale alla sua coniugata trasposta U † {\displaystyle U^{\dagger }} .

Una matrice unitaria avente tutte le entrate reali è una matrice ortogonale.

Gruppo unitario speciale

Lo stesso argomento in dettaglio: Gruppo unitario speciale.

In matematica, il gruppo unitario speciale di grado n {\displaystyle n} , abbreviato con SU( n {\displaystyle n} ), è il gruppo di n × n {\displaystyle n\times n} matrici unitarie con determinante unitario. L'operazione interna al gruppo corrisponde alla moltiplicazione tra matrici. Il gruppo speciale unitario è un sottogruppo del gruppo unitario U( n {\displaystyle n} ), che include tutte le matrici unitarie n × n {\displaystyle n\times n} , che è a sua volta un sottogruppo del gruppo lineare generale GL( n {\displaystyle n} , C).

Il caso più semplice, ovvero SU(1), è un gruppo banale, contenente cioè un solo elemento. Il gruppo SU(2) è isomorfo rispetto al gruppo dei quaternioni di valore assoluto pari a 1, ed è perciò diffeomorfo nei confronti di un sfera in quattro dimensioni (definita 3-sfera). Poiché quaternioni unitari possono essere usati per rappresentare rotazioni nello spazio tridimensionale (a meno del segno), l'omeomorfismo è suriettivo da SU(2) fino al gruppo ortogonale speciale SO(3) il cui nucleo è {+ I {\displaystyle I} , − I {\displaystyle I} }.

Bibliografia

  • (EN) Halzen, Francis; Martin, Alan, Quarks & Leptons: An Introductory Course in Modern Particle Physics, John Wiley & Sons, 1984, ISBN 0-471-88741-2.
  • (EN) Jean Dieudonné (1977): Treatise on Analysis. Volume V: Compact Lie Groups and Semisimple Lie Groups, Academic Press, ISBN 0-12-215505-X
  • (EN) Nicolas Bourbaki (1989): Elements of Mathematics. Lie groups and Lie algebras, Springer, ISBN 3-540-50218-1

Voci correlate

Collegamenti esterni

  • Maximal Subgroups of Compact Lie Groups, su arxiv.org.
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