Gruppo risolubile

In algebra, un gruppo risolubile è un gruppo ${\displaystyle G}$ che possiede una serie normale abeliana, ovvero tale che esiste una catena di sottogruppi

${\displaystyle \{e\}\subseteq H_{1}\subseteq H_{2}\subseteq \cdots \subseteq H_{n-1}\subseteq H_{n}=G}$

(dove ${\displaystyle e}$ è l'elemento neutro del gruppo) in cui ogni ${\displaystyle H_{i}}$ è normale in ${\displaystyle H_{i+1}}$ e il quoziente ${\displaystyle H_{i+1}/H_{i}}$ è abeliano. Se ${\displaystyle G}$ è un gruppo finito è equivalente richiedere che questi quozienti siano non solo abeliani, ma ciclici.

I gruppi risolubili prendono il nome dalla teoria di Galois: infatti un polinomio è risolubile per radicali su un campo ${\displaystyle F}$ di caratteristica zero se e solo se il suo gruppo di Galois su ${\displaystyle F}$ è risolubile.

Esempi

Ogni gruppo abeliano è banalmente risolubile attraverso la serie ${\displaystyle \{e\}\subseteq G}$. Altri esempi di gruppi di cui è facile dimostrare la risolubilità sono i gruppi diedrali ${\displaystyle D_{n}}$ e i p-gruppi, cioè i gruppi con ${\displaystyle p^{n}}$ elementi (con ${\displaystyle p}$ numero primo); anche i gruppi nilpotenti sono risolubili.

William Burnside dimostrò nel 1904 che sono risolubili tutti i gruppi di ordine ${\displaystyle p^{n}q^{m}}$, con ${\displaystyle p}$ e ${\displaystyle q}$ primi dispari; la sua congettura che questo valesse anche per tutti i gruppi di ordine dispari fu dimostrata nel 1963 da Walter Feit e John Griggs Thompson;^[1] questo risultato, noto come teorema di Feit-Thompson, fu un importante passo verso la classificazione dei gruppi semplici finiti.

Il più piccolo gruppo non risolubile è il gruppo alterno ${\displaystyle A_{5}}$, con 60 elementi. Ogni gruppo semplice non abeliano, non possedendo sottogruppi normali, non è risolubile; altri esempi importanti di gruppi non risolubili sono i gruppi simmetrici ${\displaystyle S_{n}}$, per ${\displaystyle n}$ maggiore o uguale a ${\displaystyle 5}$; questi sono importanti nel contesto della teoria di Galois, in quanto il polinomio generale di grado ${\displaystyle n}$ ha come gruppo di Galois proprio ${\displaystyle S_{n}}$, e quindi non è risolubile per radicali.

Proprietà

In virtù dei teoremi di isomorfismo, sia i sottogruppi che i quozienti di un gruppo risolubile sono risolubili; nessuno di questi due criteri può essere tuttavia invertito, in quanto ogni gruppo contiene sottogruppi abeliani (quindi risolubili) e ogni gruppo ha come quoziente ${\displaystyle G/G}$, cioè il gruppo col solo elemento neutro, che è ovviamente risolubile. Combinare queste due proprietà dà tuttavia un criterio sufficiente: se ${\displaystyle N}$ è un sottogruppo (normale) di ${\displaystyle G}$ e sia ${\displaystyle N}$ che ${\displaystyle G/N}$ sono risolubili allora anche il gruppo ${\displaystyle G}$ è risolubile. Attraverso questa proprietà si dimostra che il prodotto diretto di un numero finito di gruppi risolubili è ancora risolubile.

Una caratterizzazione dei gruppi risolubili può essere data anche attraverso la sua serie derivata: detto ${\displaystyle G'}$ il sottogruppo derivato di ${\displaystyle G}$, cioè il sottogruppo generato dai commutatori di ${\displaystyle G}$ (gli elementi nella forma ${\displaystyle xyx^{-1}y^{-1}}$ al variare di ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ in ${\displaystyle G}$), un gruppo è risolubile se e solo se la successione

${\displaystyle G\supseteq G'\supseteq G''\cdots \supseteq G^{(m)}\cdots }$

in cui ogni sottogruppo è il derivato del precedente, raggiunge il sottogruppo banale ${\displaystyle \{e\}}$, oppure, in modo equivalente, se esiste un ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ tale che

${\displaystyle G^{(n)}=\{e\}}$

Per i gruppi finiti, la risolubilità equivale all'esistenza di una serie di composizione i cui fattori siano tutti gruppi semplici abeliani; questo non vale per i gruppi infiniti, perché, ad esempio, sebbene ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ degli interi sia risolubile (perché abeliano) ha ogni sottogruppo non banale isomorfo a sé stesso, e quindi non possiede una serie di composizione.

Note

Bibliografia

• Giulia Maria Piacentini Cattaneo, Algebra - un approccio algoritmico, Padova, Decibel-Zanichelli, 1996, ISBN 978-88-08-16270-0.
• Stefania Gabelli, Teoria delle Equazioni e Teoria di Galois, Milano, Springer, 2008, ISBN 978-88-470-0618-8.

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Gruppo risolubile, su MathWorld, Wolfram Research.
• Sequenza degli ordini dei gruppi finiti non risolubili sull'On-Line Encyclopedia of Integer Sequences

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