Gruppo semplice

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In matematica, un gruppo semplice è un gruppo non banale i cui unici sottogruppi normali sono il sottogruppo banale e il gruppo stesso.

In altre parole, i gruppi semplici sono gruppi che contengono il minimo numero di sottogruppi normali. I gruppi semplici sono importanti in teoria dei gruppi, specialmente nella teoria dei gruppi finiti, perché formano i "blocchi primari" per la costruzione di ogni gruppo finito.

Esempi

  • Un gruppo ciclico G = Z / m Z {\displaystyle G=\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} } è semplice se e solo se m {\displaystyle m} è primo: infatti tutti i sottogruppi di G {\displaystyle G} sono normali, e corrispondono ai divisori di m {\displaystyle m} .
  • Il gruppo dei numeri interi Z {\displaystyle \mathbb {Z} } non è semplice, perché ad esempio i numeri pari formano un sottogruppo normale. Più in generale, un gruppo abeliano è semplice se e solo se è ciclico di ordine primo.
  • Il più piccolo esempio di gruppo semplice non abeliano è il gruppo alternante A 5 {\displaystyle A_{5}} di ordine 60 {\displaystyle 60} . Più in generale, ogni gruppo alternante A n {\displaystyle A_{n}} è semplice per n > 4 {\displaystyle n>4} .
  • Il secondo esempio è il gruppo lineare speciale proiettivo P S L ( 2 , 7 ) {\displaystyle {\rm {{PSL}(2,7)}}} , di ordine 168 {\displaystyle 168} .

Classificazione

Lo stesso argomento in dettaglio: Classificazione dei gruppi semplici finiti.

La classificazione dei gruppi semplici finiti fu conclusa nel 1982, grazie al contributo di numerosi matematici, tra cui John G. Thompson.

Voci correlate

Collegamenti esterni

  • (EN) simple group, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc. Modifica su Wikidata
  • (EN) Eric W. Weisstein, Gruppo semplice, su MathWorld, Wolfram Research. Modifica su Wikidata
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