In matematica, e in particolare in teoria dei gruppi, con gruppo sporadico si intende un gruppo semplice finito che è uno dei 26 casi eccezionali del teorema di classificazione dei gruppi semplici finiti. Questo teorema afferma infatti che, se
è un gruppo semplice finito allora,
è
- un gruppo con un numero primo di elementi, oppure
- un gruppo alternante
con
maggiore di
, oppure - un gruppo di tipo Lie, oppure
- uno dei 26 gruppi sporadici.
I primi cinque gruppi sporadici furono scoperti da Emile Léonard Mathieu nel 1861 e nel 1873. I successivi furono scoperti tra il 1965 ed il 1975, generalmente prendono il nome dai loro scopritori.
Per via della loro struttura anomala, i gruppi sporadici sono oggetti matematici che presentano tuttora aspetti misteriosi e, presumibilmente ricchi di interessanti conseguenze. A tal proposito val la pena ricordare il problema del Monstrous moonshine per il Mostro recentemente risolto da Richard Borcherds.
Lista ed ordini dei gruppi sporadici
I cinque gruppi di Mathieu:
, di ordine ![{\displaystyle 2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 11;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8c21afdf3965ad161c8ed3a94be728f9d4b2e76)
, di ordine ![{\displaystyle 2^{6}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 11;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b1467152b0b561715baa1cfd1efa344c3f96b2f)
, di ordine ![{\displaystyle 2^{7}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7\cdot 11;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82065e263924d5022ad3c8bef50a07ac97ddcf3b)
, di ordine ![{\displaystyle 2^{7}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 23;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18f3f54b1fa99612a8641bc3763cd1f04c14a897)
, di ordine ![{\displaystyle 2^{10}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 23.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c099a50a6427db52b97e2db7a1eef5f1bfde028)
I quattro gruppi di Janko:
, di ordine ![{\displaystyle 2^{3}\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 19;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d524e4c0a42e716f4820260689176fa280fd70c1)
, di ordine ![{\displaystyle 2^{7}\cdot 3^{3}\cdot 5^{2}\cdot 7;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16dcaed259e591b079bc52954293cd336ec2e571)
, di ordine ![{\displaystyle 2^{7}\cdot 3^{5}\cdot 5\cdot 17\cdot 19;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01857dd6863d4334b4600707f11ce588db24cb24)
, di ordine ![{\displaystyle 2^{21}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7\cdot 11^{3}\cdot 23\cdot 29\cdot 31\cdot 37\cdot 43.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c3ca82a773fb3dce65930cc45cc22f17de78ded)
I tre gruppi di Conway:
, di ordine ![{\displaystyle 2^{10}\cdot 3^{7}\cdot 5^{3}\cdot 7\cdot 11\cdot 23;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60f6a4b6e4e7afe2a28095d4a7065f3081af83f3)
, di ordine ![{\displaystyle 2^{18}\cdot 3^{6}\cdot 5^{3}\cdot 7\cdot 11\cdot 23;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b04537aea7267f49a9b72917396c3d76ddfe3dc)
, di ordine ![{\displaystyle 2^{21}\cdot 3^{9}\cdot 5^{4}\cdot 7^{2}\cdot 11\cdot 13\cdot 23.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/debfae69482354246a1a9046af93dfa0866a8397)
Il gruppo di Higman-Sims:
, di ordine ![{\displaystyle 2^{9}\cdot 3^{2}\cdot 5^{3}\cdot 7.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53409bbebeb76858fe148f02a6a54a4c66dce603)
Il gruppo di McLaughlin:
, di ordine ![{\displaystyle 2^{7}\cdot 3^{6}\cdot 5^{3}\cdot 7\cdot 11.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8182f7d49c127f24e10c78285fb76de74899185e)
Il gruppo di Suzuki:
, di ordine ![{\displaystyle 2^{13}\cdot 3^{7}\cdot 5^{2}\cdot 7\cdot 11\cdot 13.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/009ab35f4e87b28aeaafce5a4b11fd9bf421f266)
Il gruppo di Held:
, di ordine ![{\displaystyle 2^{10}\cdot 3^{3}\cdot 5^{2}\cdot 7^{3}\cdot 17.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aacc56ec5851f89bb6f0e9601aebff263814d6c8)
Il gruppo di Lyons:
, di ordine ![{\displaystyle 2^{8}\cdot 3^{7}\cdot 5^{6}\cdot 7\cdot 11\cdot 31\cdot 37\cdot 67.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e252f1c398797471acbd0d0eccc1a5d772721954)
Il gruppo di Rudvalis:
, di ordine ![{\displaystyle 2^{14}\cdot 3^{3}\cdot 5^{3}\cdot 7\cdot 13\cdot 29.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03d224b95742957741f3cb894995d1048044dbb3)
Il gruppo di O'Nan:
, di ordine ![{\displaystyle 2^{9}\cdot 3^{4}\cdot 5\cdot 7^{3}\cdot 11\cdot 19\cdot 31.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bb6ea76a27a66ea5dc02a2d470c47b306b24a13)
I tre gruppi di Fischer:
, di ordine ![{\displaystyle 2^{17}\cdot 3^{9}\cdot 5^{2}\cdot 7\cdot 11\cdot 13;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c0c0fb625a140f94f66a958c470a07050d98e99)
, di ordine ![{\displaystyle 2^{18}\cdot 3^{13}\cdot 5^{2}\cdot 7\cdot 11\cdot 13\cdot 17\cdot 23;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/987e7883376d50e76bf290bdb1aa9955d01a242b)
, di ordine ![{\displaystyle 2^{21}\cdot 3^{16}\cdot 5^{2}\cdot 7^{3}\cdot 11\cdot 13\cdot 17\cdot 23\cdot 29.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3ccd53b5ce6b3bb3731fa710d9ea71b87ea76c5)
Il gruppo di Harada-Norton:
, di ordine ![{\displaystyle 2^{14}\cdot 3^{6}\cdot 5^{6}\cdot 7\cdot 11\cdot 19.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61067a550c0ce0201e64f30a64eccd2ae17541db)
Il gruppo di Thompson:
, di ordine ![{\displaystyle 2^{15}\cdot 3^{10}\cdot 5^{3}\cdot 7^{2}\cdot 13\cdot 19\cdot 31.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3a84e7a8c0d60df9a15677157fa252f27eaf157)
Il Baby Mostro:
, di ordine ![{\displaystyle 2^{41}\cdot 3^{13}\cdot 5^{6}\cdot 7^{2}\cdot 11\cdot 13\cdot 17\cdot 19\cdot 23\cdot 31\cdot 47.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e299de719f3b3348505cac31700bc80c1340b94f)
Il Mostro di Fischer-Griess:
, di ordine ![{\displaystyle 2^{46}\cdot 3^{20}\cdot 5^{9}\cdot 7^{6}\cdot 11^{2}\cdot 13^{3}\cdot 17\cdot 19\cdot 23\cdot 29\cdot 31\cdot 41\cdot 47\cdot 59\cdot 71.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58bbe32f8d3f5635327b139c46460a2c6916cd7e)
Relazioni tra i gruppi sporadici
Può essere interessante notare che, contrariamente a quanto il loro nome possa far supporre, i gruppi sporadici hanno diversi legami tra loro e con gli altri gruppi semplici finiti. Ad esempio
può venire costruito a partire dall'automorfismo esterno eccezionale di
e tutti i gruppi di Mathieu possono essere costruiti ricorsivamente come gruppi di automorfismi di sistemi di Steiner.
è il quoziente modulo un centro di ordine
del gruppo degli automorfismi del Reticolo di Leech (un reticolo intero
-dimensionale di uno spazio euclideo di dimensione 24). Come stabilizzatori di certi sottoreticoli di dimensione
e
del Reticolo di Leech si possono trovare
,
,
,
, e come certi sottogruppi locali di
, anche
e
. Inoltre il Reticolo di Leech può essere costruito a partire dal sistema di Steiner
associato a
. Esclusi i
gruppi
,
,
,
,
e
(i cosiddetti Pariah), i restanti
gruppi sporadici sono contenuti come sezioni nel Mostro e molti di questi compaiono come fattori di composizione nei sottogruppi locali del Mostro: ad esempio il Baby Mostro e
compaiono come quozienti di centralizzanti di opportuni elementi di ordine
del Mostro, similmente nei normalizzanti dei sottogruppi di ordine
compaiono
e
e, per opportuni sottogruppi di ordine
,
e
si possono trovare in modo analogo rispettivamente
,
e
. Allo stesso modo, nelle sezioni di sottogruppi locali del Baby Mostro si possono inoltre trovare:
e
nei centralizzanti di elementi di ordine
,
nei normalizzanti di opportuni elementi di ordine
e
in quelli di ordine
.
Bibliografia
- Michael Aschbacher:Sporadic groupsCambridge University Press, Cambridge 1994
- John Horton Conway: A perfect group of order 8,315,553,613,086,720,000 and the sporadic simple groups, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 61 (1968), 398-400.
- John Horton Conway, J. H.; Curtis, R. T.; Norton, S. P.; Parker, R. A.; Wilson, R. A., Atlas of finite groups. Maximal subgroups and ordinary characters for simple groups. With computational assistance from J. G. Thackray. Eynsham: Oxford University Press, 1985, ISBN 0-19-853199-0
- Daniel Gorenstein, Richard Lyons, Ronald Solomon The Classification of the Finite Simple Groups, Number 3 Memoirs Amer. Math. Soc. vol. 40 number 3, 1998
- Robert L. Griess: "Twelve Sporadic Groups", Springer-Verlag, 1998.
Collegamenti esterni
- (EN) Eric W. Weisstein, Gruppo sporadico, su MathWorld, Wolfram Research.
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- Atlas of Finite Group Representations: Sporadic groups, su brauer.maths.qmul.ac.uk.
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