Numero duale

In algebra lineare, i numeri duali sono un'estensione dei numeri reali, introdotti nel XIX secolo da William Clifford, ottenuta aggiungendo a essi un elemento caratterizzato dalla proprietà di essere nilpotente, ovvero tale che il suo quadrato è pari a zero. I numeri duali, nonostante non possiedano le proprietà di un campo, costituiscono un insieme con proprietà complementari a quelle dei numeri complessi. Essi trovano diverse applicazioni in fisica, sia nelle teorie classiche, sia in quelle riguardanti la relatività einsteiniana e la fisica delle particelle.

Algebra dei numeri duali

Indicato con ${\displaystyle \varepsilon }$ l'elemento nilpotente, ogni numero duale può quindi essere scritto nella forma:

${\displaystyle z=a+b\varepsilon }$,

dove ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ sono numeri reali, e vale la relazione

${\displaystyle \varepsilon ^{2}=0}$.

L'elemento ${\displaystyle \varepsilon }$ ha una funzione analoga all'unità immaginaria dei numeri complessi, e spesso viene definito anch'esso unità immaginaria.

In generale, è possibile eseguire le normali operazioni algebriche sui numeri duali, considerando ${\displaystyle \varepsilon }$ come una variabile e avendo cura di sostituire ${\displaystyle \varepsilon ^{n}}$ con 0 quando ${\displaystyle n\geq 2}$. È così possibile calcolare la somma e il prodotto di due numeri duali ${\displaystyle z_{1}=a_{1}+b_{1}\varepsilon }$ e ${\displaystyle z_{2}=a_{2}+b_{2}\varepsilon }$:

${\displaystyle {\begin{matrix}z_{1}+z_{2}&=&\left(a_{1}+a_{2}\right)+\left(b_{1}+b_{2}\right)\varepsilon \\z_{1}z_{2}&=&\left(a_{1}a_{2}\right)+\left(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}\right)\varepsilon .\end{matrix}}}$

Con le operazioni sopra descritte, i numeri duali formano un'algebra associativa e commutativa dotata di unità.

Divisione

L'operazione di divisione tra due numeri duali è definita come moltiplicazione per l'inverso moltiplicativo del divisore; analogamente ai numeri complessi, è possibile eseguire la divisione moltiplicando dividendo e divisore per il coniugato del divisore:

${\displaystyle {\frac {a+b\varepsilon }{c+d\varepsilon }}={\frac {(a+b\varepsilon )(c-d\varepsilon )}{(c+d\varepsilon )(c-d\varepsilon )}}={\frac {ac-ad\varepsilon +cb\varepsilon -bd\varepsilon ^{2}}{(c^{2}+cd\varepsilon -cd\varepsilon -d^{2}\varepsilon ^{2})}}={\frac {ac-ad\varepsilon +cb\varepsilon -0}{c^{2}+0}}={\frac {ac+\varepsilon (cb-ad)}{c^{2}}}={\frac {a}{c}}+{\frac {cb-ad}{c^{2}}}\varepsilon .}$

La divisione è definita per ${\displaystyle c\neq 0}$, per cui tutti i duali privi di parte reale non sono invertibili e i numeri duali non costituiscono un campo.

Calcolo numerico delle derivate

L'unità immaginaria dei numeri duali ha proprietà analoghe agli infinitesimi utilizzati nell'analisi non standard, i cui quadrati hanno valore "quasi" nullo (più precisamente, sono infinitesimi di ordine superiore). Questa caratteristiche hanno interessanti applicazioni nella definizione dei polinomi su numeri duali: dato il polinomio ${\displaystyle P(z)=\sum _{k=0}^{n}p_{k}z^{k}}$, è possibile scrivere il suo sviluppo di Taylor, centrato nel punto ${\displaystyle a}$; questo sviluppo è troncato al secondo termine, in quanto tutti i termini successivi contengono potenze dell'unità immaginaria superiori a uno:

${\displaystyle P(a+b\varepsilon )=\sum _{k=0}^{n}P^{(k)}(a){\frac {(b\varepsilon )^{k}}{k!}}=P(a)+P^{\prime }(a)b\varepsilon }$.

Dalla formula sopra segue che conoscendo il valore del polinomio in un determinato numero duale, è possibile conoscere il valore della derivata del polinomio, calcolato sulla parte reale. È anche possibile generalizzare questa formula utilizzandola per definire le funzioni trascendenti sui numeri duali:

${\displaystyle f(a+b\varepsilon )=f(a)+bf^{\prime }(a)\varepsilon }$.

Rappresentazioni

Rappresentazione matriciale

I numeri duali sono identificabili con le matrici reali ${\displaystyle 2\times 2}$ della forma:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\0&a\end{pmatrix}},}$

che rappresenta il numero ${\displaystyle a+b\varepsilon }$.

In questo modo, le usuali operazioni di somma e prodotto tra matrici coincidono con la somma e il prodotto di numeri duali; l'elemento nilpotente è dato dalla matrice

${\displaystyle \varepsilon ={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}.}$

Rappresentazione polare

È possibile definire il modulo di un numero duale come:

${\displaystyle |z|^{2}=zz^{*}=(a+\varepsilon b)(a-\varepsilon b)=a^{2}-\varepsilon ^{2}b^{2}=a^{2}}$.

La circonferenza unitaria è allora costituita dalle rette di equazione ${\displaystyle a=\pm 1}$, mentre l'equivalente della formula di Eulero è:

${\displaystyle \exp(b\varepsilon )=1+\varepsilon b}$.

Dato allora il numero ${\displaystyle z=a+\varepsilon b}$, se ${\displaystyle a\neq 0}$ è possibile scomporlo come:

${\displaystyle z=a\left(1+{\frac {b}{a}}\varepsilon \right)}$.

I due parametri ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b/a}$ si possono considerare le coordinate polari del numero duale.

Generalizzazioni

La costruzione eseguita può essere generalizzata a qualunque anello commutativo ${\displaystyle A}$: i numeri duali su ${\displaystyle A}$ sono gli elementi dell'anello quoziente ${\displaystyle A[X]/\left(X^{2}\right)}$, dove ${\displaystyle A[X]}$ è l'anello dei polinomi a coefficienti in ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle \left(X^{2}\right)}$ è l'ideale generato da ${\displaystyle X^{2}}$.

L'ideale ${\displaystyle \left(X^{2}\right)}$ non è massimale ^[1], per cui l'anello dei duali non è mai un campo; l'inverso dell'elemento ${\displaystyle a+b\varepsilon }$ è ${\displaystyle a^{-1}-ba^{-2}\varepsilon }$, ed è definito se ${\displaystyle a}$ è una unità in ${\displaystyle A}$.

Applicazioni

Trasformazioni di Galileo

In cinematica, le trasformazioni di Galileo possono essere rappresentate mediante i numeri duali: dato il sistema di riferimento ${\displaystyle O^{\prime }(x^{\prime },t^{\prime })}$, che si muove con velocità relativa ${\displaystyle v}$ rispetto al sistema di riferimento ${\displaystyle O(x,t)}$, la trasformazione delle coordinate tra i due sistemi è data dalla matrice del numero duale ${\displaystyle 1+v\varepsilon }$:

${\displaystyle (t^{\prime },x^{\prime })=(t,x){\begin{pmatrix}1&v\\0&1\end{pmatrix}}}$,

ovvero:

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}t^{\prime }&=&t\\x^{\prime }&=&vt+x.\end{matrix}}\right.}$

Superspazi in fisica

I numeri duali costituiscono un semplice esempio di superspazio, utilizzato da alcune teorie fisiche, quali la relatività generale e le teorie supersimmetriche, per descrivere la configurazione spaziale. Ad esempio, nella Supersimmetria la loro componente reale è detta direzione bosonica, quella immaginaria direzione fermionica. Quest'ultima deriva il proprio nome dai fermioni, particelle che obbediscono al principio di esclusione di Pauli: con uno scambio di coordinate, la loro funzione d'onda cambia di segno, e considerando entrambe le coordinate, la funzione d'onda si annulla. Questo comportamento può essere sintetizzato nelle proprietà dell'elemento nilpotente.

Note

Bibliografia

• Isaak Yaglom, Complex Numbers in Geometry, Academic Press, 1968.
• Vladimir V. Kisil, Inventing the Wheel, the Parabolic One, 2007, arXiv:0707.4024v1. URL consultato il 5 luglio 2008.

Voci correlate

• Algebra di Clifford
• Numero complesso iperbolico
• Numero iperreale
• Superspazio

Collegamenti esterni

• Numeri duali e dinamica galileiana, su google.it.

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