Serie sommativa unitaria

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In matematica, la serie sommativa unitaria, indicata anche come 1 + 1 + 1 + 1 + ... è una serie divergente. Essa è rappresentabile mediante sommatoria come

∑ n = 1 ∞ 1 = 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯ {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }1=1+1+1+1+\cdots }

Troncando al termine m {\displaystyle m} -esimo si ha:

∑ n = 1 m 1 = m . {\displaystyle \sum _{n=1}^{m}1=m.}

Talvolta viene utilizzata, in modo informale, la seguente uguaglianza:

1 + 1 + 1 + ⋯ = − 1 2 . {\displaystyle 1+1+1+\cdots =-{1 \over 2}.}

Occorre però ricordare che questa uguaglianza non è formalmente corretta fintantoché si considera la definizione usuale di serie infinita, in quanto la serie sommativa unitaria è una serie divergente. Una delle motivazioni di tale scrittura è la seguente: se si considera, informalmente, la serie sommativa unitaria come un caso particolare della funzione zeta di Riemann (valutata nel punto 0)

ζ ( 0 ) = 1 1 0 + 1 2 0 + 1 3 0 + ⋯ = 1 + 1 + 1 + ⋯ = ∑ n = 1 ∞ 1 {\displaystyle \zeta (0)={\frac {1}{1^{0}}}+{\frac {1}{2^{0}}}+{\frac {1}{3^{0}}}+\cdots =1+1+1+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }1} .

e si utilizza il prolungamento analitico di tale funzione per dimostrare che:

ζ ( 0 ) = − 1 2 , {\displaystyle \zeta (0)=-{1 \over 2},}

si arriva scrivere 1 + 1 + 1 + ⋯ = − 1 2 . {\displaystyle 1+1+1+\cdots =-{1 \over 2}.} Questo ragionamento non è tuttavia corretto in quanto la definizione di ζ {\displaystyle \zeta } in forma di serie non è valida in 0 (e non lo è in generale per tutti i numeri aventi parte reale minore o uguale a 1). Possiamo al massimo dire che esiste un "collegamento indiretto" tra la serie sommativa unitaria (intesa in senso usuale) e il valore -1/2.


Il fisico spagnolo Emilio Elizalde ha raccontato un aneddoto su questa serie:

In un breve periodo di meno di un anno, due fisici distinti, A. Slavnov e F. Yndurain davano seminari a Barcellona, su diverse materie. Era notevole come in entrambe le presentazioni a un certo punto il relatore precisasse con queste parole: "Come tutti sanno 1 + 1 + 1 + ... = -1/2"; forse intendendo: "Se non lo sai è inutile che continui ad ascoltare".

Voci correlate

Collegamenti esterni

  • Serie infinite, su arxiv.org.
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