Numero esagonale

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Rappresentazione dei primi quattro numeri esagonali.

Un numero esagonale è un numero poligonale che rappresenta un esagono. Il numero esagonale per n può essere calcolato con la formula

H e x n = 2 n 2 − n , {\displaystyle \mathrm {Hex} _{n}=2n^{2}-n,}

oppure con la formula derivata da quella per i numeri pentagonali:

H e x n = n ( 4 n − 2 ) 2 . {\displaystyle \mathrm {Hex} _{n}={\frac {n\left(4n-2\right)}{2}}.}

I primi 30 numeri esagonali sono:

1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153, 190, 231, 276, 325, 378, 435, 496, 561, 630, 703, 780, 861, 946, 1035, 1128, 1225, 1326, 1431, 1540, 1653, 1770

Ogni numero esagonale è anche un numero triangolare, ma non tutti i numeri triangolari sono anche esagonali poiché vale la seguente relazione:

H e x n = n ( 2 n − 1 ) = 2 n ( 2 n − 1 ) 2 = T 2 n − 1 . {\displaystyle \mathrm {Hex} _{n}=n(2n-1)={\frac {2n\left(2n-1\right)}{2}}=T_{2n-1}.}

e sono esagonali solo i numeri triangolari con indice dispari.

Come nel caso dei numeri triangolari, la radice digitale in base dieci di un numero esagonale può essere solo 1, 3, 6 o 9.

Ogni intero positivo può essere rappresentato come somma di al più sei numeri esagonali; tuttavia, soltanto due (11 e 26) richiedono sei numeri, e solo 13 richiedono cinque o più numeri. Adrien-Marie Legendre ha dimostrato nel 1830 che ogni intero maggiore di 1791 può essere espresso come somma di non più di quattro numeri esagonali; in seguito, è stato dimostrato che ogni intero sufficientemente grande è somma di al più tre numeri esagonali.[1]

I numeri esagonali non devono essere confusi con i numeri esagonali centrati.

Note

  1. ^ William Duke e Rainer Schulze-Pillot, Representation of integers by positive ternary quadratic forms and equidistribution of lattice points on ellipsoids, in Inventiones Mathematicae, vol. 99, n. 1, 1990, pp. 49-57. URL consultato il 19 gennaio 2015.

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Collegamenti esterni

  • (EN) Eric W. Weisstein, Numero esagonale, su MathWorld, Wolfram Research. Modifica su Wikidata
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