Numero ettagonale

I primi cinque numeri ettagonali

Un numero ettagonale è un numero poligonale che rappresenta un ettagono di n {\displaystyle n} lati. L' n {\displaystyle n} -esimo numero ettagonale può essere calcolato con la formula:

H n = 5 n 2 − 3 n 2 . {\displaystyle H_{n}={\frac {5n^{2}-3n}{2}}.}

I primi 20 numeri ettagonali sono:

1, 7, 18, 34, 55, 81, 112, 148, 189, 235, 286, 342, 403, 469, 540, 616, 697, 783, 874, 970, 1071, 1177, 1288, 1404, 1525, 1651, 1782, 1918, 2059, 2205, 2356, 2512, 2673, 2839, 3010, 3186, 3367, 3553, 3744, 3940, 4141, 4347, 4558, 4774, 4995, 5221, 5452, 5688 (successione A000566 dell'OEIS).

La parità dei numeri ettagonali segue il modello dispari-dispari-pari-pari. Come nel caso dei numeri quadrati, la radice digitale in base 10 di un numero ettagonale può essere solo 1, 4, 7 o 9.

Il quintuplo di un numero ettagonale aumentato di 1 è un numero triangolare.

La formula per la somma dei reciproci dei numeri ettagonali è data da

∑ n = 1 ∞ 2 n ( 5 n − 3 ) = 1 15 π 25 − 10 5 + 2 3 ln ⁡ ( 5 ) + 1 + 5 3 ln ⁡ ( 1 2 10 − 2 5 ) + 1 − 5 3 ln ⁡ ( 1 2 10 + 2 5 ) . {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2}{n(5n-3)}}={\frac {1}{15}}{\pi }{\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}+{\frac {2}{3}}\ln(5)+{\frac {{1}+{\sqrt {5}}}{3}}\ln \left({\frac {1}{2}}{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\right)+{\frac {{1}-{\sqrt {5}}}{3}}\ln \left({\frac {1}{2}}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}\right).} [1]

La funzione generatrice per i numeri ettagonali è

x ( 4 x + 1 ) ( 1 − x ) 3 . {\displaystyle {\frac {x(4x+1)}{(1-x)^{3}}}.}

I numeri ettagonali soddisfano la seguente formula ricorsiva:

H m + n = H m + H n + 5 m n . {\displaystyle H_{m+n}=H_{m}+H_{n}+5mn.}

Numeri ettagonali generalizzati

Un numero ettagonale generalizzato è ottenuto dalla formula

T n + T ⌊ n 2 ⌋ , {\displaystyle T_{n}+T_{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor },}

dove T n {\displaystyle T_{n}} è l' n {\displaystyle n} -esimo numero triangolare. I primi numeri ettagonali generalizzati sono:

1, 4, 7, 13, 18, 27, 34, 46, 55, 70, 81, 99, 112 (successione A085787 dell'OEIS).

Ogni altro numero ettagonale generalizzato è un regolare numero ettagonale. Esclusi 1 e 70, nessun altro numero ettagonale generalizzato è anche un numero di Pell.[2]

Note

  1. ^ Beyond the Basel Problem: Sums of Reciprocals of Figurate Numbers (PDF), su math.psu.edu. URL consultato il 30 dicembre 2010 (archiviato dall'url originale il 29 maggio 2013).
  2. ^ B. Srinivasa Rao, "Numeri ettagonali nella Sequenza di Pell e equazioni diofantee 2 x 2 = y 2 ( 5 y − 3 ) 2 ± 2 {\displaystyle 2x^{2}=y^{2}(5y-3)^{2}\pm 2} " Fib. Quart. 43 3: 194

Voci correlate

  • Numero figurato
  • Numero poligonale

Collegamenti esterni

  • (EN) Eric W. Weisstein, Numero ettagonale, su MathWorld, Wolfram Research. Modifica su Wikidata
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