Triangolo equilatero

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Triangolo equilatero

Nella geometria euclidea, un triangolo equilatero è un triangolo avente i suoi tre lati congruenti tra loro. Si dimostra che i suoi angoli sono tutti congruenti e pari a 60° = π 3 {\displaystyle {\frac {\pi }{3}}} rad[1]. Poiché è sia equilatero sia equiangolo è il poligono regolare con tre lati.

I triangoli equilateri sono particolari triangoli isosceli. Tutti i triangoli equilateri sono simili tra di loro: per caratterizzare metricamente un triangolo equilatero, ovvero per caratterizzare la classe dei triangoli equilateri nel piano ottenibili gli uni dagli altri mediante traslazioni e rotazioni, serve e basta un parametro estensivo; tipicamente si usa la lunghezza dei suoi lati.

Nei triangoli equilateri, le bisettrici, le mediane, le altezze e gli assi si sovrappongono cosicché lo stesso punto rappresenta l'ortocentro, il baricentro, l'incentro e il circocentro.

Il gruppo delle simmetrie del triangolo equilatero è costituito dall'identità, dalle rotazioni intorno al suo centro di 120° e di 240° e dalle riflessioni rispetto alle bisettrici degli angoli. Tale gruppo è isomorfo al gruppo simmetrico di 3 oggetti S3.

Costruzione

Costruzione del triangolo equilatero con riga e compasso

Come mostra Euclide in Elementi I, 1 (è la prima proposizione di tutta l'opera), il triangolo equilatero dato il lato AB si può costruire con riga e compasso in questo modo:

  • Si punta il compasso in A con apertura AB e si traccia una circonferenza;
  • Si punta il compasso in B con apertura BA e si traccia una circonferenza;
  • Il punto d'incontro delle circonferenze C è il terzo punto cercato;
  • Unendo A, B e C si ottiene un triangolo equilatero.

La dimostrazione è semplice: essendo, per definizione, tutti i punti della circonferenza equidistanti dal centro, il segmento AB è congruente ad AC, e AB è congruente a BC. Ma allora per la proprietà transitiva della congruenza, AB = AC = BC e il triangolo è equilatero.

Formule

Indicando con l {\displaystyle l} il lato del triangolo, con P {\displaystyle P} il perimetro, con A {\displaystyle A} l'area, con b {\displaystyle b} la base e con h {\displaystyle h} l'altezza si ha:

Perimetro

P = l ⋅ 3 {\displaystyle P=l\cdot 3}
l = P 3 {\displaystyle l={\frac {P}{3}}}

Area

A = b ⋅ h 2 = l 2 4 ⋅ 3 {\displaystyle A={\frac {b\cdot h}{2}}={\frac {l^{2}}{4}}\cdot {\sqrt {3}}}
h = A ⋅ 2 b {\displaystyle h={\frac {A\cdot 2}{b}}}
b = A ⋅ 2 h {\displaystyle b={\frac {A\cdot 2}{h}}}
Altezza
h = l ⋅ 3 2 {\displaystyle h=l\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}}

Applicazioni del teorema di Pitagora

h = l 2 − ( l 2 ) 2 = l 2 − l 2 4 = 4 l 2 − l 2 4 = 3 l 2 4 = l 2 ⋅ 3 4 = l ⋅ 3 2 = l 2 3 {\displaystyle h={\sqrt {l^{2}-\left({\frac {l}{2}}\right)^{2}}}={\sqrt {l^{2}-{\frac {l^{2}}{4}}}}={\sqrt {\frac {4l^{2}-l^{2}}{4}}}={\sqrt {\frac {3l^{2}}{4}}}={\frac {{\sqrt {l^{2}}}\cdot {\sqrt {3}}}{\sqrt {4}}}={\frac {{l}\cdot {\sqrt {3}}}{2}}={\frac {l}{2}}{\sqrt {3}}}
l = 2 h 3 {\displaystyle l={\frac {2h}{\sqrt {3}}}}

Circonferenza inscritta e circoscritta

Il centro geometrico del triangolo è il centro delle circonferenze inscritta e circoscritta al triangolo equilatero

Il raggio della circonferenza circoscritta è R = 3 3 l {\displaystyle R={\frac {\sqrt {3}}{3}}l} da cui l = R 3 {\displaystyle l=R{\sqrt {3}}}

Il raggio della circonferenza inscritta è r = 3 6 l {\displaystyle r={\frac {\sqrt {3}}{6}}l} da cui R = 2 ⋅ r {\displaystyle R=2\cdot r}

L'area, noto R, è A = 3 ⋅ R 2 4 ⋅ 3 {\displaystyle A={\frac {3\cdot R^{2}}{4}}\cdot {\sqrt {3}}}

Note

  1. ^ Questo avviene solo nella geometria euclidea, dove la somma degli angoli interni di un triangolo è uguale all'angolo piatto. Dunque 180°÷3=60°

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