Esagono

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Esagono regolare

Un esagono è un poligono con sei lati e sei vertici, il suo simbolo di Schläfli è {6}. In esso si possono tracciare nove diagonali.

La parola esagono è composta da ἕξ che significa sei e da γωνία che significa angolo a ricordare il fatto che tale poligono contiene sei angoli interni.

Esagono regolare

Circonferenza inscritta e circoscritta

Un esagono regolare è un esagono con i sei lati di uguale lunghezza e con i sei angoli congruenti (uguale ampiezza).

Angoli

Gli angoli interni di un esagono regolare misurano tutti 120°.

Perimetro

Il perimetro P {\displaystyle P} di un esagono regolare di lato l {\displaystyle l} è dato da

P = 6 ⋅ l . {\displaystyle P=6\cdot l.}

Apotema

L'apotema a {\displaystyle a} dell'esagono regolare, dato dal raggio della circonferenza inscritta, è pari a:

a = 3 ⋅ l 2 ≃ 0,866 025 ⋅ l . {\displaystyle a={\frac {{\sqrt {3}}\cdot l}{2}}\,\!\simeq 0{,}866025\cdot l.}

Il diametro della circonferenza circoscritta è pari a 2 l {\displaystyle 2l} mentre il diametro della circonferenza inscritta è 3 ⋅ l ≃ 1,732 05 ⋅ l {\displaystyle {\sqrt {3}}\cdot l\simeq 1{,}73205\cdot l} .

Area

L'area dell'esagono regolare di lato l {\displaystyle l} , apotema a {\displaystyle a} e perimetro P {\displaystyle P} è data da:

A = P a 2 = 6 a l 2 = 3 a l = 3 3 2 l 2 ≃ 2,598 08 ⋅ l 2 . {\displaystyle A={\frac {Pa}{2}}=6{\frac {al}{2}}=3al={\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}l^{2}\simeq 2{,}59808\cdot l^{2}.}
A = P a 2 = 6 a l 2 = 6 3 a 2 ≃ 3,464 1 ⋅ a 2 {\displaystyle A={\frac {Pa}{2}}=6{\frac {al}{2}}={\frac {6}{\sqrt {3}}}a^{2}\simeq 3{,}4641\cdot a^{2}}
A = P a 2 = 6 a l 2 = 3 24 P 2 ≃ 0,072 169 ⋅ P 2 {\displaystyle A={\frac {Pa}{2}}=6{\frac {al}{2}}={\frac {\sqrt {3}}{24}}P^{2}\simeq 0{,}072169\cdot P^{2}}

L'area dell'esagono regolare, essendo l = R {\displaystyle l=R} , con raggio della circonferenza circoscritta R {\displaystyle R} è data da:

A = 3 3 2 R 2 . {\displaystyle A={\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}R^{2}.}

Tassellazioni

Come succede per i quadrati e i triangoli equilateri, gli esagoni regolari si possono unire per ricoprire porzioni di piano senza lasciare spazi vuoti (tre esagoni intorno a ogni vertice): per questo motivo sono molto utili per costruire tassellazioni. Non a caso, le cellette del favo di un alveare sono esagonali, stante l'uso efficiente di spazio e di materiali da costruzione che tale forma consente. Il diagramma di Voronoi di una rete di triangoli equilateri è equivalente alla tassellazione di un favo con esagoni regolari.

Solidi archimedei

Non esistono solidi platonici che hanno come facce esagoni regolari: I solidi archimedei con alcune facce esagonali sono il tetraedro troncato, l'ottaedro troncato, l'icosaedro troncato (che incontriamo nel classico pallone da calcio e nella molecola di fullerene), il cubottaedro troncato e l'icosidodecaedro troncato.

Valore simbolico

In francese, il termine L'Hexagone (L'Esagono) è spesso utilizzato come sinonimo di Francia, i cui confini hanno una forma vagamente esagonale.

Costruzione dell'esagono regolare

Un esagono regolare è costruibile con riga e compasso. L'immagine seguente è un'animazione che mostra passo-passo il metodo suggerito da Euclide nei suoi Elementi (libro IV, proposizione 15).

Hexagon Construction Animation
Hexagon Construction Animation

Voci correlate

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Collegamenti esterni

  • Esagoni in libertà, su matematita.it.
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