Toro (geometria)

In geometria il toro (dal latino torus, cuscino a forma di ciambella) è una superficie di rotazione ottenuta dalla rivoluzione di una circonferenza in uno spazio tridimensionale intorno a un asse ad essa complanare.

Il toro nella geometria euclidea

Rappresentazione mediante equazioni parametriche

Una rappresentazione parametrica del toro, nell'usuale spazio euclideo tridimensionale, è data da:[1]

{ x ( u , v ) = ( R + r cos ⁡ u ) cos ⁡ v y ( u , v ) = ( R + r cos ⁡ u ) sin ⁡ v z ( u , v ) = r sin ⁡ u , {\displaystyle {\begin{cases}x(u,v)=(R+r\cos u)\cos v\\y(u,v)=(R+r\cos u)\sin v\\z(u,v)=r\sin u,\end{cases}}}

dove R > 0 {\displaystyle R>0} è la distanza dal centro del tubo al centro del toro, r > 0 {\displaystyle r>0} è il raggio del tubo e u {\displaystyle u} e v {\displaystyle v} variano in [ 0 , 2 π ) . {\displaystyle [0,2\pi ).}

L'equazione in coordinate cartesiane, che individua un toro il cui asse di simmetria coincide con l'asse z , {\displaystyle z,} è data da:

( R − x 2 + y 2 ) 2 + z 2 = r 2 . {\displaystyle \left(R-{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)^{2}+z^{2}=r^{2}.}

Proprietà metriche

L'area esterna e il volume del toro sono dati rispettivamente da:[2]

A = 2 π r   2 π R = 4 π 2 R r , {\displaystyle A=2\pi r\ 2\pi R=4\pi ^{2}Rr,}
V = π r 2   2 π R = 2 π 2 R r 2 . {\displaystyle V=\pi r^{2}\ 2\pi R=2\pi ^{2}Rr^{2}.}

I risultati derivano direttamente dai due teoremi di Pappo-Guldino.[3]

Topologia del toro

Costruzione

Un toro topologico è uno spazio topologico omeomorfo ad un toro nello spazio euclideo. Esso può essere definito come il prodotto di due circonferenze S 1 × S 1 . {\displaystyle S^{1}\times S^{1}.} Le equazioni parametriche che abbiamo dato per il toro in R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} individuano un omeomorfismo con l'insieme S 1 × S 1 . {\displaystyle S^{1}\times S^{1}.}

Un modo equivalente per costruire un toro topologico è quello di considerare un quadrato e "incollare" i lati opposti. Questo corrisponde a definire sul quadrato

Q = [ 0 , 1 ] × [ 0 , 1 ] ⊆ R 2 , {\displaystyle Q=[0,1]\times [0,1]\subseteq \mathbb {R} ^{2},}

la relazione di equivalenza ∼ T {\displaystyle \sim _{T}} tale che x ∼ T y {\displaystyle x\sim _{T}y} se e solo se x = y {\displaystyle x=y} è un unico punto interno oppure x {\displaystyle x} e y {\displaystyle y} sono su due lati opposti ed hanno una coordinata uguale. Con questa relazione di equivalenza si può definire lo spazio quoziente Q / ∼ T {\displaystyle Q/\sim _{T}} che è appunto un toro topologico.

Un ulteriore modo per definire il toro topologico è quello di costruire lo spazio quoziente del R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} rispetto al sottogruppo Z 2 . {\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}.}

Proprietà topologiche

Suddivisione del toro che richiede 7 colori

Il toro solido

Il toro solido è l'oggetto tridimensionale delimitato dal toro (toro incluso).[6] Si tratta cioè della porzione di spazio contenuta all'interno del toro inclusa la parte di spazio che la delimita. Topologicamente, si tratta di uno spazio omeomorfo al prodotto D × S 1 {\displaystyle D\times S^{1}} del disco bidimensionale[7]

D = { ( x , y ) ∈ R 2   |   x 2 + y 2 ≤ 1 } , {\displaystyle D=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\ |\ x^{2}+y^{2}\leq 1\},}

con la circonferenza S 1 {\displaystyle S^{1}} . Si tratta di una 3-varietà con bordo; il bordo consiste appunto nel toro. Il suo gruppo fondamentale è Z . {\displaystyle \mathbb {Z} .} Si tratta infine del corpo con manici avente genere 1.

Il toro solido è un oggetto importante nello studio delle 3-varietà e più in generale nella topologia della dimensione bassa.

Note

  1. ^ Equations for the Standard Torus, su geom.uiuc.edu, 6 luglio 1995. URL consultato il 21 luglio 2012 (archiviato dall'url originale il 29 aprile 2012).
  2. ^ Eric W. Weisstein, Torus, su: mathworld
  3. ^ A. W. Goodman e G. Goodman, Generalizations of the Theorems of Pappus, su JSTOR, The American Mathematical Monthly. URL consultato il 26 dicembre 2015.
  4. ^ Euler characteristic, su: nLab.
  5. ^ Kenneth Appel, Wolfgang Haken, Solution of the Four Color Map Problem, Scientific American, vol. 237 n. 4 pp. 108–121.
  6. ^ Kenneth Falconer, Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications, 2nd, John Wiley & Sons, 2004, p. 198, ISBN 9780470871355.
  7. ^ Yukio Matsumoto, An Introduction to Morse Theory, Translations of mathematical monographs, vol. 208, American Mathematical Society, 2002, p. 188, ISBN 9780821810224.

Voci correlate

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Collegamenti esterni

  • (EN) torus, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc. Modifica su Wikidata
  • (EN) Eric W. Weisstein, Toro, su MathWorld, Wolfram Research. Modifica su Wikidata
  • Le sezioni circolari di un toro, su dhallewin.it. URL consultato il 12 luglio 2014 (archiviato dall'url originale il 14 luglio 2014).
  • Torus Games: giochi (scaricabili gratuitamente) che illustrano la topologia del toro e della bottiglia di Klein, su geometrygames.org.
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