Varietà differenziabile

In matematica, e in particolare in geometria differenziale, la nozione di varietà differenziabile è una generalizzazione del concetto di curva e di superficie differenziabile in dimensione arbitraria. Si tratta di una realizzazione del concetto di varietà che fa uso degli strumenti del calcolo infinitesimale.

Introduzione

Così come una curva differenziabile è un oggetto che localmente assomiglia ad una retta, o una superficie differenziabile che localmente assomiglia ad un piano, una varietà n {\displaystyle n} -dimensionale somiglierà localmente ad uno spazio euclideo n {\displaystyle n} -dimensionale. L'aggettivo "differenziabile" indica il fatto che questa "somiglianza" locale è definita mediante parametrizzazioni dotate di una struttura differenziabile che verrà descritta in seguito e che garantisce la possibilità di associare univocamente in ogni punto uno "spazio tangente" della stessa dimensione della varietà (come ad esempio una retta tangente a una curva o un piano tangente a una superficie).

Le varietà differenziabili sono gli elementi di base della geometria differenziale, punto d'incontro di analisi e topologia. Essenzialmente la teoria delle varietà differenziabili serve a trasferire su oggetti tipicamente descritti come spazi topologici i concetti e gli strumenti del calcolo differenziale, definito generalmente sugli spazi euclidei. Lo studio delle varietà differenziabili è fondamentale in fisica, in quanto permette di definire campi vettoriali e flussi di fase su spazi non necessariamente piatti. Trova innumerevoli applicazioni anche nella matematica pura, grazie alle interconnessioni con altre branche quali la topologia e la teoria dei numeri.

Definizione

Una varietà topologica è uno spazio topologico di Hausdorff completamente separabile per il quale è possibile definire un ricoprimento W = { W i } {\displaystyle W=\{W_{i}\}} costituito da insiemi aperti tale che ogni aperto può essere messo in relazione con un aperto dello spazio euclideo attraverso un omeomorfismo φ i {\displaystyle \varphi _{i}} . La coppia ( W i , φ i ) {\displaystyle (W_{i},\varphi _{i})} è detto carta locale o semplicemente carta. L'insieme degli omeomorfismi costituisce l'atlante. La composizione di funzioni costituita da una carta e la funzione inversa di un'altra carta è detta funzione di transizione, e se si tratta di funzioni differenziabili (di classe C k {\displaystyle C^{k}} ) la varietà è differenziabile (di classe C k {\displaystyle C^{k}} ). Se le funzioni di transizione sono di classe C ∞ {\displaystyle C^{\infty }} si parla di varietà lisce.

Essendo ogni insieme aperto W i {\displaystyle W_{i}} isomorfo a un aperto di R d {\displaystyle \mathbb {R} ^{d}} , tutti i teoremi locali del calcolo differenziale ordinario si possono estendere direttamente alle varietà.

Sottovarietà

Una sottovarietà differenziabile N {\displaystyle N} in una varietà differenziabile M {\displaystyle M} è un sottoinsieme che può essere descritto localmente come zero di una funzione differenziabile:

f : U → R k , {\displaystyle f\colon U\to \mathbb {R} ^{k},}

dove U {\displaystyle U} è un aperto di M {\displaystyle M} e il cui differenziale (letto su qualsiasi carta) è ovunque suriettivo. Si tratta effettivamente anch'essa di una varietà differenziabile, avente codimensione k {\displaystyle k} in M {\displaystyle M} (cioè, se dim ⁡ M = n {\displaystyle \dim M=n} allora dim ⁡ N = n − k {\displaystyle \dim N=n-k} ). L'ipotesi di un differenziale suriettivo è necessaria per ottenere effettivamente una varietà differenziabile.

Nel caso k = 1 {\displaystyle k=1} , la varietà è anche detta ipersuperficie, e la condizione sul differenziale è equivalente alla richiesta che il gradiente di f {\displaystyle f} sia (su ogni carta) ovunque diverso da zero.

Intorno tubolare

Un importante risultato riguardante le sottovarietà è il teorema dell'intorno tubolare. Il teorema asserisce che ogni sottovarietà differenziabile N {\displaystyle N} ha un intorno fatto come un tubo, cioè diffeomorfo ad un fibrato di dischi k {\displaystyle k} -dimensionali su N {\displaystyle N} .

Bibliografia

  • M. Abate, F. Tovena, Geometria Differenziale, Springer, 2011, ISBN 978-88-470-1919-5.
  • G. Gentili, F. Podestà, E. Vesentini, Lezioni di Geometria Differenziale, Torino, Bollati Boringhieri, 1995, ISBN 978-88-339-5556-8.
  • Edoardo Sernesi, Geometria 2, Torino, Bollati Boringhieri, 1994, ISBN 978-88-339-5548-3.
  • (EN) I. Kolář, P. Michor, J. Slovák, Natural operators in differential geometry (PDF), Springer-Verlag, 1993. URL consultato il 5 luglio 2013 (archiviato dall'url originale il 30 marzo 2017).

Voci correlate

Collegamenti esterni

  • (EN) Eric W. Weisstein, Varietà differenziabile, su MathWorld, Wolfram Research. Modifica su Wikidata
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